r x x x − − x x 2 2 1 1 1 e y = Ae + Be d d ydx udx d u T = A e + A e 2 2 1 2 = + − − u y = = 0 0 2 2 k k k 1 2 € € € € € € € €

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(1)

Pour la corde vibrante, la projection de

€

T sur la verticale conduit à d(Tsinα) et non pas à sinαdT, ce qui n’est pas pareil car α varie.

Pour les oscillations horizontales d’un ressort si le ressort est attaché à x=0 et libre à x=L alors les conditions limites sont : déplacement nul en x=0 et tension nulle en x=L.

On peut envisager un terme divergent spatialement dans une solution générale si le syst ème évolue dans un espace limité ; par exemple si l’équation différentielle est du type

€

d²y

dx² −α²y=0 la solution est

€

y=Ae^αx+Be^−α^x ; on n’élimine le terme divergent

€

e^αx que si l’espace disponible à l’onde est semi-infini dans la direction x>0.

L’association de ressorts en série (accrochés bout à bout) est équivalente à un unique ressort dont la constante k vérifie :

€

1 k = 1

k₁+ 1

k₂ Ce sont les inverses des raideurs qui s’ajoutent. En effet comme la force est proportionnelle à l’allongement total du ressort : F = k Δl = k (Δl1+Δl2). Cette force se reproduit en tout point des deux ressorts, donc F = k1 Δl1= k2 Δl2 . L’élimination de F et des allongements donne la relation sur la raideur.

L’association en parallèle de ressorts est équivalente à un unique ressort dont la constante k est la somme des raideurs : k = k1 + k2 . En effet on a un même allongement pour les ressorts en parallèle mais la tension qui agit sur chacun d’eux est différente car la raideur est différente : F₁ = k₁Δl F₂ = k₂Δl Pour l’ensemble on a une tension égale à la somme des tensions agissant sur chacun des ressorts F = F₁ + F₂ Par définition F = k Δl. On a donc la relation sur la raideur.

L’équation différentielle

€

d²u

dx² −γ²u=0 où

€

γ est complexe conduit à une solution

€

u=A₁e^γ^x+A₂e^−γx On peut rencontrer ce type d’équations différentielles dans les câbles modélisés par une résistance linéïque avec capacité linéïque de fuite en parallèle avec une conductance linéïque de fuite.

Références

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