2. Écrire le développement limité très simple à l'ordre m en 0 de la fonction x → (e

MPSI B DS 3 10 janvier 2020

Exercice I

1

Soit m un entier supérieur ou égal à 1 . Tous les développements limités se font en 0 . 1. Soit λ un réel non nul. Écrire le développement limité à l'ordre m en 0 de la fonction

x → e

^λx

2. Écrire le développement limité très simple à l'ordre m en 0 de la fonction x → (e

^x

− 1)

^m

3. Donner une autre expression du développement limité de la fonction x → (e

^x

− 1)

^m

En déduire, pour les entiers j entre 1 et m , la valeur de

m

X

k=1

(−1)

^m−k

m

k

k

^j

Exercice II

Soit f

1

l'application de R

^∗

dans R dénie par

∀x ∈ R

^∗

, f

₁

(x) = x + p

x

²

+ 1

¹_x

.

1. a. Montrer que f

1

est prolongeable par continuité en une fonction f dénie et conti- nue sur R.

b. Étudier la parité de f .

c. Calculer un développement limité à l'ordre 4 de f en 0.

d. Étudier le sens de variation de f et les limites de f

⁰

en 0 et +∞ .

e. Tracer sommairement le graphe de f . Préciser la position de la courbe par rapport à la parabole d'équation y = e(1 −

^x₆²

) au voisinage de 0.

2. Soit F la primitive de f sur R

⁺

nulle en 0. On dénit la fonction H sur R

⁺

en posant

H (x) =

f (0) si x = 0

F(x)

x

si x > 0 .

1D'après Concours Commun Centrale Supelec 2000 PC épreuve 1

a. Montrer que H est continue en 0.

b. Montrer que H est deux fois dérivable dans R

⁺

, préciser H

⁰

(0) et H

⁰⁰

(0) . c. Montrer que H(x) ≥ f (x) pour tous les x de R

⁺

.

d. Quelle est la limite de H en +∞ ?

3. a. Montrer que F admet une bijection réciproque G dénie, continue et strictement croissante sur R

⁺

. (on pourra utiliser 2.c.)

b. Montrer que G est dérivable. Montrer que, pour tout u > 0 , il existe v dans ]0, G(u)[ tel que

G(u) u = 1

f (v) .

Problème

Soit K > 0 et E(K) l'ensemble des suites (M

k

)

k∈N

vériant

∀k ∈ N , M

k

> 0 et M

_k²

M

_k−1

M

k+1

≤ K

Partie I

²

Dans cette partie K = 1 . Plus précisément, E est l'ensemble de toutes les suites de E (1) dont les deux premiers termes sont égaux à 1 .

(A

_n

)

_n∈N

∈ E ⇔ A

₀

= A

₁

= 1, ∀n ∈ N

^∗

: A

_n

> 0 et A

²_n

≤ A

_n−1

A

_n+1

1. Vérier que la suite de terme général n! est élément de E . On convient que 0! = 1 . 2. Soit (A

n

)

n∈N

∈ E . Montrer que

∀n ≥ 3, A

n

≥ A

n−1 n−2

n−1

En déduire que A

n

≥ 1 pour tous les entiers n .

3. Soit (A

n

)

_n∈N

∈ E . On dénit les suites (λ

n

)

_n∈N

et (µ

n

)

_n∈N

par

λ

₀

= µ

₀

= 1, ∀n ≥ 1 : λ

_n

= A

_n−1

A

n

, µ

_n

= A

⁻nⁿ¹ 2D'après Agrégation interne 2000 épreuve 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0203E

MPSI B DS 3 10 janvier 2020

a. Montrer que (λ

n

)

n∈N

est décroissante, en déduire λ

ⁿ_n

≤ λ

1

λ

2

· · · λ

n

. b. Montrer que (µ

n

)

_n∈N

est décroissante.

c. Montrer que :

∀n ∈ N , ∀j ∈ J 0, n K , A

n+1

A

_n+1−j

≥ A

n

A

_n−j

En déduire A

_j

A

_n−j

≤ A

_n

.

d. Établir λ

n

≤ µ

n

pour tout entier n .

Partie II

³

Dans cette partie K = 2 et (M

_n

)

_n∈

N

∈ E (2) .

1. Soit (u

k

)

_k∈N

est une suite croissante de réels positifs. Montrer que

∀n ≥ 2, ∀k ∈ J 2, n − 1 K , (u

1

u

2

· · · u

k

)

ⁿ

≤ (u

1

u

2

· · · u

n

)

^k

2. Montrer que la suite (u

_k

)

_k∈N^∗

est croissante avec :

∀k ≥ 1, u

k

= 2

^k−1

M

k

M

_k−1

3. Montrer que

∀n ∈ N

^∗

, ∀k ∈ J 1, n K , M

k

≤ 2

^k(n−k)2

M

¹⁻

k n

0

M

k

nn

Partie III

1. a. Déterminer en fonction de λ

0

, les suites (λ

n

)

_n∈N

de nombres réels strictement positifs vériant

∀n ∈ N

^∗

, λ

²_n

λ

_n−1

λ

n+1

= 1

b. Par quelle suite peut-on multiplier une suite (M

n

)

_n∈N

de E (K) pour obtenir une suite de E (K) dont les deux premiers termes sont égaux à 1 ?

2. a. Déterminer en fonction de λ

₀

et λ

₁

, les suites (λ

_n

)

_n∈N

de nombres réels strictement positifs vériant

λ

²_n

λ

_n−1

λ

n+1

= K

b. Par quelle suite peut-on multiplier une suite (M

n

)

_n∈N

∈ E(K) pour obtenir une suite de E ?

3D'après CCC 2000 PC épreuve 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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