2017-2018 MAT303–UGA
TD 3 : topologie de R n Correction
Exercice 2. Exemple de changement de norme.
Soit x ∈ U . Comme U est ouvert pour k · k 2 , il existe r > 0 tel que B k·k
2(x, r) ⊂ U (en rouge sur la figure). Et comme k · k 2 et k · k 1 sont ´ equivalentes, il existe C > 0 tel que k · k 2 ≤ Ck · k 1 , ce qui entraˆıne B k·k
1(x, r/C ) ⊂ B k·k
2(x, r) ⊂ U (en bleu). Ainsi, U est un voisinage de chacun de ses points pour la norme k · k 1 , donc un ouvert pour k · k 1 .
x
U