K α lesous-ensemblesuivantdeℓ 2 ( N , R ): {(u n ) n ≥0 ∈ ℓ 2 : |u n | ≤ α n }.

Départementde Mathématiques TD-6

Topologie

Exerie 1.

Soit

α = (α ⁿ ) ⁿ ≥0

^{unesuitedenombresréels positifset}

K ^α

^lesous-ensemblesuivantde

ℓ ² ( N , R )

^:

{(u ⁿ ) ⁿ ≥0 ∈ ℓ ² : |u ⁿ | ≤ α ⁿ }.

Montrerque

K ^α

^{est ompatsiet seulementsi}

α

^appartientà

ℓ ² ( N , R )

^.

Exerie 2. Soient

E

^et

F

^deuxespaestopologiques.Onsupposeque

F

^estompat.

1. Montrerquelaprojetion

p : E × F → E

^{estfermée(autrementdit,l'imaged'unferméde}

E × F

par

p

^{estunfermé de}

E

^).

2. Soit

f

^{uneappliationde}

E

^dans

F

^{.Onsupposequelegraphede}

f

^{estfermédans}

E × F

^munide

latopologieproduit.Montrerque

f

^estontinue.

Exerie 3.

Ononsidèreunespaemétriqueompat

(E, d)

^{et uneappliation}

f : E → E

^.

1. Si

f

^{préserveladistane(}

d(f (x), f (y)) = d(x, y)

^)montrerque

f

^estbijetive.

2. Si

f

^vérie

d(f (x), f (y)) < d(x, y)

^dèsque

x

^et

y

^{sont despointsdistints de}

E

^{, montrer que}

f

admetununiquepointxedans

E

^.

3. Si

f

^{estontinueetvérie}

d(f (x), f(y)) ≥ d(x, y)

^alors

f

^{estbijetiveet}

d(f (x), f (y)) = d(x, y)

^.On

pourraommener parmontrerquesi

x

^{est unpointde}

E

^et

n(k)

^telleque

f ^{n ( k )} (x)

^{aune limite,}

alors

f ^{n ( k +1)− n ( k )} (x)

^onvergevers

x

^,puislefairesimultanémentpourdeuxpoints

x

^et

y

^.

Exerie 4.

Montrerqu'uneintersetiondéroissantedepartiesompatesetonnexesestonnexe.(est-ilvraiqu'une

intersetiondéroissantedefermésonnexesestonnexe?)

Exerie 5. (

∗

⁾

1. Montrerque, dansun espae vetorielnormé de dimension aumoins

2

^{, le} omplémentaire d'une bouleestonnexe.

2. Montrerque,dansunespaevetorielnormédedimensioninnie,leomplémentaired'unompat

est onnexe.

Exerie 6. Pas de théorèmede Cantor-Bernstein topologique

1. Soit

h

^unhoméomorphismede

X

^sur

Y

^.Montrerque

h

^{éhangelesomposantesonnexesde}

X

^et

Y

^.

2. Soit

X = ∪ ^∞ n =0 (]3n, 3n + 1[∪{3n + 2})

^et

Y = (X − {2}) ∪ {1}

^{.D'unepart,montrerque}

X

^et

Y

^ne

sontpashoméomorphes.D'autrepart,trouverdeuxbijetionsontinues

f : X → Y

^et

g : Y → X

^.

Conlure.

(

⋆

^{)Remarque :}

f

^et

g

^{sontdesexemples}d'appliationbijetiveontinue,d'inversenonontinue.

Exerie 7.

Soit

(K, d)

^{unespaemétriqueompat.}

1. Pourtout

k ∈ N ^∗

montrerqu'ilexisteunepartienie

F

^de

K

^telleque:

∀x ∈ K, ∃y ∈ F, d(x, y) < 1/k

2. Àl'aidedeequipréède,montrerque

K

^{estséparable.Onnoteradésormais}

D = {y ⁿ , n ∈ N }

^une

partie dénombrabledense.

3. Montrerqu'ilexiste

δ > 0

^telque

∀(x, y) ∈ K ²

^,

d(x, y) ≤ δ

^.

Onpose :

φ :

K → [0, δ] ^N x 7→ (d(x, y ⁿ )) ⁿ ∈ N

.

4. Montrerque

φ

^{est injetive.}

5. Onmunit

[0, δ] ^N

^{delatopologieproduit.Rappelerpourquoietespaeestompatetmontrerque}

l'appliation

φ

^estontinue.

6. Montrerquetout espaemétriqueompatesthoméomorpheàunepartieferméede

[0, 1] ^N

^.