OBER RATIONALE P U N K T E AUF K U R V E N
VONA. WIMAN
in Lu~m
I.
1. In einer im letzten Jahre erschienenen Abhandlung 1 habe ieh die rationalen Punkte auf Kurven
(I) y ' = x ( x §
untersueht, wo a und b ganze rationale Zahlen bedeuten. In der ersten Abteilung dieser Arbeit besehr~nkte ieh reich auf den speziellen Fall, wo (i) sich in der Gestalt
(2) = (2-" -
sehreiben lgsst. Es wurden dabei versehiedene Kurven (2)yore Range vier in Betraeht gezogen. Es gelang mir aueh eine Kurve (2), aber n u t eine einzige, yore Range fiinf zu entdecken. In der zweiten Abteilung der besproehenen Arbeit wurde der allgemeine Fall behandelt. Als Hauptresultat ergab sieh, dass man Kurven (t) in unbegrenzter Anzahl sowohl yore Range fiinf als yore Range seehs bestimmen kann.
Die vorliegende Arbeit, welche sich nahe an die erste Abteilung der zitierten Abhandlung anschliesst, zerf~llt in drei Absehnitte. Im ersten Absehnitt wird eine Methode entwickelt, durch welehe in vielen F~illen sich beweisen liiss~, dass die bereits bekannte untere Grenze des Ranges einer Kurve den riehtigen Rang der Kurve darstellt. Im zweiten Absehnitt werden F~lle behandelt, w o e eine Primzahl p oder das doppelte einer Primzahl bedeutet. Es werden einige Kurven
1 ))l~ber den R a n g yon K u r v e n y~x(x-t-a)(x-{-b)>~, Acta mathematica 76 (I944). Diese Schrift wird hier kurz ,,Rang yon Kurven,, benannt.
282 A. Wiman.
bestimmt, fiir welche der Maximalrang vier hier erreicht wird. Im dritten Ab- schnitt wird nschgewiesen, wie sich unbegrenzt viele Kurven (2) nicht n u t yore Range vier sondern auch yore Range fiinf bestimmen lassen. W i t werden finden, dass sogar der Rang sechs, wenn auch n u t dutch ein einziges Beispie], unter den Kurven (2) vertreten wird.
2. In ~Rang yon Kurven~ haben wir unter Zugrundelegung des Belspiels c ~ 210 auseinandergesetzt, wie man die rationalen P u n k t e auf einer Kurve (2) in Klassen verteilt. Hier benutzen wir zu dem gleichen Zwecke das ganz analoge Beispiel
(3) C ~--- 3 3 0 ~ 2.3.5.I I.
Auf dieser Kurve finden wir unmittelbax die beiden rationalen P a n k t e x - - c = 6 6 , x - ~ 3 9 6 , x + e = 7 2 6 ;
x - - c - - - - 5 5 o , x = 8 8 o , x + c - - - - I 2 X O ,
fiir welche wir der leichteren t~bersichtlichkeit wegen die Bezeichnungen (P1) (I, 6, I I) 66;
(P,) (5, s, i , ) , xo
einfiihren. Wie man hier fiir die ent~prechenden y-Werte das Zeichen + oder
--w~hlt,
ist gleichgiiltig. Ohne weiteres ist ersichtlich, dass als gemeinsame Faktoren fiir x - - e , x und x + c bei einem rationalen P a n k t nur die Tefler yon r also in diesem Falle 2, 3, 5 und I I, auftreten kiSnnen. Ein solcher F a k t o r muss in zwei yon den drei GriSssen in ungerader Potenz und ia der dritten in gerader Potenz enthslten sein. Wenn wit die Primzahl flit diese dritte Gr~sse chaxak- teristisch sein lassen, so finden wit, dass die beiden P u n k t e zu zwei Klassen mit den Charakteren(K1) I, 2.3, IX;
(K,) S, 2, x,.
gehtiren. Die Klasse des dritten Schnittpunktes P i . , der Kurve mit der Ver- bindungsgeraden yon P1 und P , entsteht dutch Komposition yon Kx ,and K,.
Die Oharaktere fiir diese Klasse K1. s erh~ilt man, indem man beachtet, dass dutch Komposition der drei Klassen Kx, K , and K1.2 sich die Einheitsklasse ergeben soil. W e n n man also fiir die drei Klassen die entspreehenden Charaktere mit einander multipliziert, s o sollen fiir die drei Stellen gleiehe Resultate heraas-
CTber rationale Punkte auf Kurven yz_~x (x 2-cs). 288 kommen, wenn etwa auftretende Quadrate ausgeschieden werden. I m vorliegen- den Falle bekommen wir
(Kl.a) 5, 3, I,
und in
(P1,3) (5, 27, 49) I5
haben wir einen zu dieser Kla~se geh~renden rationalen Punkt. Man findet aueh leicht, dass hier d i e P u n k t e P1, Ps und P1.2 in geraAer IAnie liegen, wenn man fiir siimtliche drei y-Werte entweder das Zeiehen + oder das Z e i c h e n - nimmt.
Den rationalen Punkten auf der Achse y = o geben wir die Bezeichnungen:
(P~) (0, 330, 660);
(P,) (--330, o, 330);
(P~,,)
( -
660, - 330, o).Wir ziehen die neun Verbindungslinien zwisehen den Punkten P1, P~ und P1.2 einerseits und Pa, P , und Ps.4 andererseits. Den dritten Punkt, der je aus der Kurve ausgeschnitten wird, findet man am bequemsten, indem man fiir eine Gerade d u t c h Ps, P4 oder Ps,4 die Relation zwischen den z-Werten fiir die beiden iibrigen Schnittpnnlrte bestimmt. Hierfiir ergibt sieh bzw.:
(4) (X 1 - C)('172- C ) = 2 ~Z; ~1~12Z = - - C2; (Xl "~ C)(Xe -~- C) = 2 ~Z.
I n leieht verst~ndlicher Bezeiehnung erhalten wir jetzt:
(P1.8) (xo, I I, 12) 330;
(P8,8) (6, I I , 16) 66;
(P1'~,.8)
(44, 49, 54) 66;(P1.4) ( - ix, - 5, x) 55;
(P~,,) ( - ~i - 3, 5)
' ~ "
(Pa,*.,) (-- 49, -- 22, 5) --~-,"0"
(P~,8,~) ( - x2, - x, xo) 30;
(P2.s.4) (-" I6, -- 5, 6) 30;
(Pa.,.8.,) (7"- 54, -- 5, 44) ~ 9 ~
I n diesen Punkten haben wir Repriisentanten fiir die folgenden neun Klassen:
(K1,8) 2.5, I I , 3;
(K2.8) 2.3, Ix, x;
(K~:2,8) xl, i, 2.3;
284 A. Wiman.
(K1,4) - - i I , - - 5, i ; (K2,4) - - i i , - - 3, 5;
(K1,2,4) - - i , - - 2 . I i , 5;
(K1,8,4) - - 3, - - I, 2 . 5 ; (K~.3.4) -- I, -- 5, 2"3;
(K1.~,3.4) - - 2 . 3 , - 5, , I .
Die Charaktere der Klassen, fiir welche die P u n k t e auf der Achse Repr~sen- tan~en sind, lassen sieh jetzt durch Komposition bestimmen, und wir erhalten:
(K3) 3 . 5 . I I , I, 2;
(J~-4) - - I, - - 2 . 3 . 5 . 1 1 , I;
(/(3.4) - - 2 , -- I, 3.5.11.
Man beaohte, wie die Primzahl 2 bier in anderer Weise als die u n g e m d e n Prim- zahlen aufgritg. Naeh Hinzunahme der Einheitsklasse haben wit jetzt seehszehn Klassen, welehe sieh mit einander wie eine Abelsehe Gruppe vom Typus (2, 2, 2, 2) komponieren. Als erzeugende Elemente dieser Oruppe k6nnen wir K1, K2, K3 und K4 nehmen. Die Kurve ( 3 ) k a n n also yon keinem niedrigeren Range als vier sein. Es bleibt iibrig zu beweisen, dass der Rang aueh nieht htiher als vier sein kann.
Wit betraehten noeh einen Fall, in welehem e eine ungerade Zahl ist, und zwar se~zen wir
c~= I5.
Ein ers~er rationaler P u n k t ist hier (P1) (2, 5, 8) 5.
Hierzu kommen die drei Punl~e auf der Aehse:
(/)~)
(o, i 5 , 30);(/93) ( - - 15, O, I S ) ; (P~,
~) ( -
30, - z 5, o).Die Verbindungslinien yon P1 mit P~, P3 and P2, 3 gehen bzw. dureh die Punkte:
(/)1,2) (3, 4, 5) 15;
(Pl.3) ( - 5, - x, 3)
~;
(P~,,.3) ( - 8, - 3, 2) 3.
Uber rationale Punkte auf Kurven y~----x(x2--c~). 285 Fiir die z u g e h S r i g e n K l a s s e n h a b e n w i r die C h a r a k t e r e :
(K1) I, 2.5, I;
(K~.~) 3, ~, 5;
(Kl, a) - - 5, - - I, 3;
( K 1 . 2 , 3 ) - - I , - - 2 . 3 , I .
I n t l b e r e i n s t i m m u n g h i e r m i t b e k o m m e n w i r ffir die P u n k t e a u f d e r Aehse:
(K~) 3.5, 2, ~;
(K~) - - i, - - 3.5, ~;
(K2,3) - - I , - - 2 , 3-5-
Zu b e m e r k e n ist, d a s s "die P r i m z a h l 2, o h n e F a k t o r yon e zu sein, h i e r u n t e r d e n C h a r a k t e r e n a u f t r i t t . I n solehen Fiillen h a b e n x - - e u n d x + e 2 als F a k t o r i n u n g e r a d e r P o t e n z , u n d d e r P l a t z fiir 2 als C h a r a k ~ e r i s t n a e h u n s e r e n Ver- a b r e d u n g e n a n d e r m i t t l e r e n Stelle. M a n b e a e h t e in d i e s e m Z u s a m m e n h a n g e noeh, dass, wie aus d e n a n g e f i i h r t e n Beispielen h e r v o r g e h t , die P r i m z a h l 2 ffir die P u n k t e a u f d e r Aehse in a n d e r e r W e i s e bei g e r a d e n u n d u n g e r a d e n W e r t e n y o n e als O h a r a k t e r a u f t r i t t .
3. E s sei e P r o d u k t yon r v e r s c h i e d e n e n Pri.mzahlen. Z u n ~ c h s t n e h m e n w i r an, class 2 u n t e r diesen P r i m z a h l e n a u f t r i t t . U n a b h i i n g i g d a v o n , ob e n t s p r e c h e n d e r a t i o n a l e P u n k t e a u f d e r K u r v e e x i s t i e r e n , s u e h e n w i t einen • b e r b l i c k fiber die C h a r a k t e r e , welche v e r m i t t e l s t dieser P r i m z a h l e n sieh a u f s t e l l e n lassen. Zu d e m E n d e g e n i i g t es die e r z e u g e n d e E l e m e n t e fiir die G r u p p e d e r C h a r a k t e r e zu b e s t i m m e n . Ffir eine beliebige in c e i n g e h e n d e P r i m z a h l p b e k o m m e n w i r d e r e n zwei, e t w a p, i, i u n d I, I, p ; d u t c h die K o m p o s i t i o n y o n diesen C h a r a k t e r e n e r g i b t sich j a I, p, I. Zu d e n in s o l c h e r W e i s e e r h a l t ~ n e n 2 r e r z e u g e n d e n Ele- m e n t e n k o m m t n o c h - - I , - - I , I, so d a s s als G e s a m t z a h l 2 r + I h e r a u s k o m m t . I n 2 r + I h a b e n w i t also offensichtlich eine obere G r e n z e ffir den R a n g d e r K u r v e .
G e h S r t 2 n i e h t zu d e n F a k t o r e n y o n c, so k o m m t , w i e a u s d e m l e t z t e n Beispiel in d e r v o r h e r g e h e n d e n N u m m e r v e r s t ~ n d l i c h sein diirfte, n o c h das er- z e u g e n d e E l e m e n t I, 2, I hinzu. I n d i e s e m Falle b e k o m m e n w i r s o m i t 2 r + 2 als o b e r e G r e n z e des R a n g e s d e r K u r v e ~. Diese o b e r e G r e n z e w i r d auch, wie 1 l~nch diesem Gedankengange hat G. BILLING in seiner Abhandlung, ,Beitriige zur arithme- tischen Theorie der ebenen kubischen Kurven yore GescMechte eins, (KSnigl. Soziet/tt der Wissen- sehaften zu Uppsala, I938) , eine obere Grenze des Ranges nicht nur fiir diesen Fall, sondern fiir die kubisehen Kurven im allgemeinen hergeleitet.
2 8 6 A . W i m a n .
wir im niiehsten Absehnitt sehen werden, f i i r r = I erreieht. Dort werden wir auch finden, dass, fails r die Anzahl der in c eingehenden
un#eraden
Primzahlen bedeutet, man ganz allgemein 2 r + 2 als obere Grenze des Ranges annehmen kann, unabhi~ngig davon, ob 2 als Faktor eingeht oder nicht.4. Fiir c = 3 3 o haben wir in der 2. Nummer vier als untere Grenze des Ranges erhalten. Dass in diesem Falle vier auch eine obere Grenze des Ranges und also den wahren Rang bezeiehnet., wird als Resultat yon dieser Nummer hervorgehen. Nach der vorhergehenden Nummer wissen wir, dass die Gruppe der Charaktere, i n denen nur die Primzahlen 2, 3, 5 und I I auftreten, neun erzeugende Elemente besitzt, und wir wissen, dass zu den Elementen einer Unter- gruppe mit vier erzeugenden Elementen rationale P u n k t e auf tier Kurve existieren.
Piir den Beweis geniigt es dann offensichtlieh, wenn sich eine andere Untergruppe mit fiinf erzeugenden Elementen yon der A r t aufsuchen liisst, dass n u r zu dem Einheitselemente rationale P u n k t e der Kurve gehSren. Dies ist mSglich in vielerlei Weisen. Fiir die vier ersten erzeugenden Elemente nehmen wir:
I, 2, i; I, 3, l; I, 5, i; I, Ix, x.
Es gilt also naehzuweisen, dass, wenn k = I ausgenommen wird, zu keinem der Charaktere I, k, I, wo k die Teiler yon 33 ~ durchli~uft, rationale P u n k t e auf der Kurve (3) vorkommen. Fiir einen rationalen Punkt, der etwa zu einem gewissen k-Weft gehi~rt, gibt es fiir x - c, x und x + c Ausdriicke yon der Gestalt
u ~ ~ v s w ~
(5) -g, - / v , - / r ,
wo der den drei Gliedern gemeinsame Faktor k weggelassen wird, und fiir u, v, w und t ganze rationale Zahlen ohne einen gemeinsamen F a k t o r genommen werden kSnnen. Es gilt dann
( 6 ) k v ~ - - u ~ = w ! - - k v 2 = k , t ~,
wo k und kl komplementiire Fakf~ren yon c, das heisst hier 33o,
bedeuten.
Aus (6) ergibt sieh( 7 ) u ~ . w ~ - 2 k v ~ = o .
Das linke Olied yon (7) soll also eine Nullform bedeuten, und k d a f t keine yon den Faktoren 3 and I I e n t h a l ~ n . Enthi~lt andererseits k nur die Faktoren 2 oder 5 so h a t (7)Liisungen. Hieraus folgt aber nieht, dass unter diesen Liiaungen
0her rationale Punkte auf Kurven yl~-x(xJ--et). 287 auch solche existieren, die zu dem gegebenen k-Wert geh6ren. Hierf~r ist nach (6) noch efforderlich, dass
(8) w s. - - k v ! - - kl t s
eine Nuilform sein soil. Die Bedingungen, welehe h i e r i n liegen, nitmlieh, dass k und k~ q u a d r a t i s e h e Reste zu einander sind, lassen sieh aber nieht erfiiilen.
Man h a t hier die Zusammenstellungen
k = IO, k l = 33; k = 5, k l = 66; k = 2, k l = I65.
I n keinem yon diesen F~llen ist aber k quaAratiseher R e s t zu k~; es ist ja Io k e i n Rest zu 11, 5 kein Rest zu 3 und 2 kein Rest zu 3, 5 und 1].
W i r kombinieren jetzt die obige Gruppe yon Charakteren I, k, I mit dem Charakter
- - I , - - I , 2.
W i r bekommen hierdureh neue Charaktere yon der Gestalt - - 1 , - k, 2 oder 2, - - k , I, wo k die Teiler yon I65 durchlituft. Dies fiihrt uns auf die Frage, in wie welt unter den Formen u 2 - 2 w j - 2 k v ~ oder 2 u z - w z - z k v s Null- formen existieren. Bekanntlieh wird die Antwort hier auf die entspreehende Frage fiir die Formen 2 u s - - w ~ - - k v ~' oder u ~ - - 2 w ~ - - k v ~ zuriiekgefiihrt. W i r erhalten also die Bedingung, dass 2 quadratiseher Rest yon k sein soil. Da abet 2 Niehtrest zu 3, 5 und ] I i s t , so ist dies n u t fiir k = I mi~glieh. Nur fiir k = ] bekommen wit mithin bier Nullformen. Dann bekommen wir aber, in Analogie mit (6), die weiteren Bedingungen
u ~ - v ~ = v ~ + 2 w ~ I 6 5 t ~ b z w .
2 u ~ - v ~ = v 2 + W 2 = I 6 5 t 2,
welehe sieh nieht effiillen lassen, lqiermit ist bewiesen, dass die fiinf Basis- elemente
I , 2, 1; I, 3, I; I , 5, I; I , 1 I , I; - - I , - - I , 2
eine Gruppe yon Charakteren erzeugen, unter denen n u r das Einheitselement dureh rationale Punkte auf der Kurve (3)vertreten wird. Der Rang dieser Kurve ist also aueh nieht griSsser als vier.
Auch in mehreren anderen Fi~llen, wie z. B. fiir e----2io----2.3.5.7, gelingt nach dieser Methode die genaue Bestimmung des Ranges. Doch ~verden die t~ber- legungen je weitli~ufiger, je mehr Primfaktoren e enthi/lt. Als zweites Beispiel betraehten wir e = I 2 5 4 = 2.3.11.] 9. I m dritten Absehnitt werden w i t fiinf als
288 A. Wiman.
u n t e r e G r e n z e des R a n g e s fiir diesen Fall finden. W o l l e n wir beweisen, dass fiinf auch der r i c h t i g e R a n g ist, so gilt es b i e r n u r eine G r u p p e y o n C h a r a k t e r e n m i t vier e r z e u g e n d e n E l e m e n t e n zu b e s t i m m e n , so dass n u t zu dem Einheits- e l e m e n t e r a t i o n a l e P u n k t e d e r K u r v e gehSren. Als solche E l e m e n t e n e h m e n w i t
I, 2, I; I, 3, I; I, I I , I; I, I9, I.
Die G r u p p e b e s t e h t s o m i t aus siimtliehen C h a r a k t e r e n I, k, 1, wo k die T e l l e r yon I254 durchli~uft. Als erste B e d i n g u n g ftir r a t i o n a l e P u n k t e e r h a l t e n wir, dass
u ~ + w ~ - - 2 k v ~ = 0
r a t i o n a l e L S s u n g e n besitzen soil. U n t e r den F a k t o r e n 3, I I u n d 19 d a r f m i t h i n k e i n e r in k enthaaten sein. N u r der Fall k = 2 bleibt n o c h iibrig zu behandeln.
H i e r h a t man, in U b e r e i n s t i m m u n g m i t (6), noch die B e d i n g n n g , dass 2 v 2 - - u'* = w-" - - 2 v-" ---- 627 t-"
r a t i o n a l e L S s u n g e n besitzen soll. Dies ist j e d o c h unmSglieh, da 2 zu k e i n e r d e r P r i m z a h l e n 3, 11 u n d x9 q u a d r a t i s e h e r R e s t ist.
I I .
5. Es sei j e t z t e eine P r i m z a h l p. H i e r m a g zun/ichst e r w ~ h n t werden, dass BILLING in den T a b e l l e n am E n d e der zitierten A b h a n d l u n g die R e s u l t a t e fiir c = 2 , 3, 5, 7 m i t g e t e i l t hat, u n d zwar h a t die K u r v e fiir c = 2 , 3 d e n R a n g zwei u n d fiir c ~ 5, 7 den R a n g drei. Es ist welter b e k a n n t , dass f i i r p = S k + 3 der R a n g n u r zwei ist. D e r n i e d r i g s t e R a n g , der bei den yon uns b e h a n d e l t e n K u r v e n v o r k o m m e n k a n n , ist zwei, da j a die drei P u n k t e a u f der Achse zusam- m e n m i t dem u n e n d l i c h e n t f e r n t e n P u n k t e ein S y s t e m yon diesem R a n g e bilden.
I n diesen vier P u n k t e n h a b e n w i t R e p r i i s e n t a n t e n fiir die E i n h e i t s k l a s s e u n d ffir die Klassen m i t den C h a r a k t e r e n
(9) p, 2, I; - - x , - - p , I; -- I, - - 2 , p.
W e n n es a u f der K u r v e noeh a n d e r e r a t i o n a l e P u n k t e gibt, so liisst sieh zeigen, dass der R a n g hiSher als zwei ist. G i b t es n u n a u f der K u r v e r a t i o n a l e P u n k t e , die zu a n d e r e n Klassen gehiSren, so lassen sieh offensiehtlieh diese K l a s s e n d u r e h K o m p o s i t i o n m i t den oben a n g e f i i h r t e n a u f solehe r e d u z i e r e n , fiir welehe p n i e h t in den O h a r a k t e r e n eingeht. D e r a r t i g e O h a r a k t e r e g i b t es ausser dem Einheits- e h a r a k t e r n u r drei, n~mlieh
(IO) - - I , - I, I; I, 2, I; - - I , - - 2 , I.
Uber rationale Punkte auf Kurven yS=x(x~--cS). 289 Die F r a g e n a e h dem R a n g e ist also b e a n t w o r t e t , w e n n m a n k e n n t , welche y o n d e n K l a s s e n m i t d e n C h a r a k t e r e n ( I o ) d u r c h r a t i o n a l e P u n k t e v e r t r e t e n sind.
Je uachdem die Antwort a u f keine, eine oder drei lautet, hat die Kurve den Rang zwei, drei oder vier. Fiir p---2 g e h t (9) in
(9,) i, I, 2; - - i , - 2 , ,; - - 2 , - - x , x
fiber, u n d in (Io) bleibg n u r d e r e r s t e C h a v a k t e r - - x, - - I, I iibrig.
Bei den Ausdrficken ffir x - - c, x u n d x + e in e i n e m r a t i o n a l e n P u n k t , die wir h i e r g e b e n wollen, lassen wir die als N e n n e r a u f t r e t e n d e n Q u a d r a t e t ~ f o r t . Dies b e d e u t e t j a nur, dass in den D i f f e r e n z e n e n t s p r e e h e n d e Q u a d r a t e zu e hin- zugefiigt werden. Fiir den C h a r a k t e r - - x , - - I , I e r h M t e n d a n n die Ausdriieke der drei GrSssen die G e s t a l t
(II) - - u ~, - - v ~, w ~.
H i e r a u s e r g i b t sieh
( I 2 ) e ~ tr _ y.* = W2 At_ V~.
G i b t es a u f d e r K u r v e r a t i o n a l e P u n k t e , die zu dieser Klasse gehSren, so k a n n also c keine P r i m f a k t o r e n 4 k + 3 e n t h a l t e n . I n e n t s p r e e h e n d e r W e i s e e r h a l t e n w i r fiir die n ~ e h s t f o l g e n d e Klasse die Z u s a m m e n s t e l l u n g :
(,,,)
2 u ~, v ~, 2w~;(I2,) e = v ~ - 2 u ~ = 2 w ~ - v ~.
In diesem Falle dfirfen also in c keine P r i m f a k t o r e n 8 k + S o d e r 8 k + 5 vor- kommen. Ffir die l e t z t e h i e r in Rede s t e h e n d e Klasse - - I , - - 2 , I b e k o m m e n wir:
(,,..)
- 2 u ~, - v ~, 2 w ~ ;( I 2 ~ ) e ~ - 2 u s - v ~ = 2 w 2 + v ~.
H i e r sind f i i r c die F a k t o r e n 8 k + 3, 8 k + 5 u n d 8 k + 7 ausgeschlossen.
Diese E r g e b n i s s e besti~tigen fiir den Fall, dass c eine P r i m z a h l p bezeichnet, den Satz, dass ffir p -~ 8 k + 3 der R a n g n u r zwei sein k a n n . W i r finden auch, dass fiir p = 8 k + 5 und 8 k + 7 der ]faximalwert des Rm~ges drei ist. N u t fiir p = 8 k + I gibt es eine Mb'gliehkeit yon einen~ Range tier.
6. Es ist h i e r l e i c h t e i n f a c h e explizite Ausdriicke fiir e herzustellen. L e i d e r e n t h a l t e n diese Ausdriieke gewShnlich fiberflfissige q u a d r a t i s c h e F a k t o r e n . Aus (I 2) e r g i b t sieh
19 - 632042 Acta mat]wmatica. 77
290 A. Wiman.
(I3) U ' - - W ' = 2 V ~.
Es w i r d a n g e n o m m e n , dass u, v u n d w k e i n e g e m e i n s a m e F a k t o r e n besitzen.
N a c h (13) sind d a n n u u n d w u n g e r a d e Z a h l e n u n d v ~ t e i l b a r d u r c h vier. M a n erh~lt a u s (13)
u + _ w = 2 m 2" u ~ w = 4 n " . Also h a b e n w i r
(I4) u = m ~ + 2n2; w = + (m 2 - 2 n ~ ) ; v = z m n . Als A u s d r u e k fiir c b e k o m m e n wir j e t z t :
(I5) C-~(U"}- v ) ( u - - v ) = ( m ' - } - 2ran-{- 2 . ' ) ( m ' - - 2 m n a t - 2,1') =
---: ((m + n)' + n ' ) ( ( m - n)' + n ' - ) = m" + 4n4 = f ( m , n ) . H i e r sind m u n d n t e i l e r f r e m d e g a n z e Z a h l e n . Fiir m i s t i m m e r eine u n g e r a d e Z a h l zu setzen. J e n a e h d e m n g e r a d e o d e r u n g e r a d e ist, h a t m a n e ~ x o d e r 5 (rood. 8). D a c also b i e r den F a k t o r 2 n i c h t e n t h a l t e n k a n n , so g i b t es, w e n n c eine g e r a d e Z a h l ist, n i e m a l s a u f d e r K u r v e r a t i o n a l e P u n k t e m i t d e m C h a r a k t e r - - 1, - - I, 1. H i e r a u s f o l g t die R i c h t i g k e i t der B e m e r k u n g in N r . 3, n a c h welcher 2 r + 2 die M a x i m a l z a h l des R a n g e s b e z e i c h n e t , w e n n c r ungerade F a k t o r e n enth~lt.
N a c h
(I21)
h a t m a n(I31) V ~ = U ~ + W ~.
Zwei M S g l i e h k e i t e n g i b t es h i e r fiir die Ausdriieke yon u, v u n d w, nitmlieh:
(I4x)
v ~ m 2 + n~; u = m 2 - - n 2 ; w : 2 m n . Es g i l t d e r o b e r e o d e r u n t e r e Fall, je n a e h d e m
m2 - - n~ - - 2 m n ~ o.
W i r e r h a l t e n j e t z t
( i 5 , ) - ( w + ,,) (,,, - . ) -
= + _ ( m " - - n ' + 2 m n ) ( m ~ - n ~ - 2 m n ) = + [ ( m ' - - n " ) ~ ' - 4 m ' n ' ] = ---- _+ ((m + n)" - - 2 n') ((m -- n) ~ - 2 n ' ) - - - + [ m ' + n 4 - 6 m 2n 2 ] - -
= + [(m 2 + n~) 2 - - S m ' ,~1 ---- + g (m, n).
Es ist h i e r eine y o n d e n Z a h l e n m u n d n g e r a d e u n d die a n d e r e u n g e r a d e . A u e h h i e r k a n n c die P r i m z a h l 2 n i c h t e n t h a l t e n .
(I 3~)
Hier hat man als erste MSgliehkeit
(14~) u = m ~ + n~; v = m ~ - - n ~ ; Es ergibt sieh hieraus naeh (I2~)
(~ber rationale Punkte auf Kurven y~-~--x(x 2 - c2).
Zuletzt erh~lt man nach (12~)
U 2 ~ y ~ q - W 2.
W ~ 2 m ~ .
291
(t5.~) c ~ ( m 2 - - n ~ ) ~ + 8 m Z n 2 = ( m 2 + , ~ ) ~ + 4 m 2 n ~ = m ' + n ' + 6 m ~ n S = h ( m , n ) . Aueh bier muss c eine ungerade Zahl sein.
Bei der zweiten MSgliehkeR haben wir
(16) u = m "~+ n~; v = 2 m ~ ; w = m ~ - n "~.
Hieraus folgt naeh (I22)
(I 7) c ~ 2 (m ~ + ,~)2 _ 4 m~ n' = 2 (m' + n') = h, (m, n).
S~mtliche vier Formen f ( m , n), g (m, n), h (m, n) und h 1 (m, n) iibereinstimmen darin, dass sie harmoniseh sind, und dass die i~quianharmonisehe lnvariante den W e r t 4 hat. F a r h(m, n) und h~(m,n) soil eine yon den Zahlen m u n d n gerade und die andere ungerade sein. Sind beide diese Zahlen ungerade, so ersetzt man dieselben dureh m + n und m - - n und kommt, naeh Ausseheidung des Faktors 4,
2 2
in die andere Form fiber. Dureh h~ (m, n) werden also nur gerade und dureh die drei iibrigen Formen nur ungerade e-Werte dargestellt; die etwa in den Formen eingehenden quadratisehen Faktoren denken wir uns dabei ausgesehieden. Auf Grund der Komposition der Klassen gilt hier die bemerkenswerte Eigensehaft, dass eine Zahl, welehe dureh zwei yon den Formen f (m, n), g (m, n) und h (m, n) aus- gedrffekt wird, sich auch dutch die dritte Form ausdriicken l~st. Man beaehte noeh, dass dutch dlese Formen keine Quadrate dargestellt werden kSnnen.
7. W i r betraehten zuerst die Form h(m,n), welche nur Primfaktoren 8 k + 1 enthalten kann. Es sei m eine gerade und n eine ungerade Zahl. W e n n man m und n variieren l~sst, so bekommt man die verschiedenen rationalen P u n k t e mit dem Charakter -- I, - - 2 , I. Die Kurve, zu welcher ein solcher P u n k t gehSrt, wird durch den c-Wert bestimmt, der nach Wegschafl~ung der quadratischen Faktoren iibrig bleibt. Wir geben hier einige Beispiele.
292 A. Wiman I) m = 2 , n = 1; e----4I.
2) r e = z , n = 3 ; c = 3 1 3 .
3) m = 2, n = 5; e~--x24I = I7.73.
4) m---4, n = I; e = 3 5 3 . 5) m = 4 , n = 3 ; e = I2Ol.
6) m = 4 , n = 5 ; e = 3 2 8 1 = 17.I93.
7) m = 6 , n = x; e = 1 5 I 3 = 17.89.
8) m--- I4, n = 1; e = 137 =-- x37.289.
Dass in dem letzten Beispiel 137 nieht ohne H i n z u f i i g u n g eines q u a d r a t i s e h e n F a k t o r s in der Gestalt h(m,n) gesehrieben werden kann, sieht m a n leicht, u n d der kleinste q u a d r a t i s c h e Faktor, der hier a u f t r e t e n kann, ist j a 2 8 9 = 17 ~. H i e r stellt sich die Prage auf, wie sich zu einem gegebenen c-Wert ein Q u a d r a t K -~
bestimmen 1Ksst, sodass das P r o d u k t c K ~ bei geigneter W a h l yon m u n d n sich in der Gestalt h(m,n) schreiben fiisst; dabei diirfen offenbar c u n d K n u r Prim- f a k t o r e n 8 k + I enthalten. I n
c----a ~ + b 2, K = ~ § ~7"
denken wir uus DarsteUungen yon e u n d K als Summe yon zwei Quadraten.
Man h a t d a n n
K ' ---- (~-* - ~')" + 4 ~" 7/".
Fiir das P r o d u k t e K z e r h a l t e n wir j e t z t
(I8) (a(~ z - ~') + 2 b~)-* + (b(~ "~- 7 ' ) - - 2 a ~ ) ~.
Aus (I5~) sehen wir, dass h(m,n) sieh als S u m m e der Q u a d r a t e zweier GrSssen darstellen l~sst, die yon der A r t sind, dass wir fiir die S u m m e u n d die Dif- ferenz der Gr6ssen die Q u a d r a t e (m + n) ~ u n d ( m - - n ) ~ erhalten. Es e n t s t e h t so die Frage, wie sieh diese B e d i n g u n g e n fiir (I8)ausdriieken. M a n erh~lt hierzu die A n t w o r t , dass ~ u n d ~ so gewKhlt werden miissen, dass die F o r m e n
(a + b) ( ~ ' - - V")-- 2 ( a - - b)~7;
(x9)
( a - - b ) ( ~ 2 - - V ~ ) + 2 ( a + b)~
Q u a d r a t e darstellen, wobei es natiirlieh erlaubt ist fiir eine F o r m (I9) das Zeiehen zu ~ndern. Als D i s k r i m i n a n t e der beiden F o r m e n (19) b e k o m m t m a n
8 (a ~ + b') = 8 c.
0ber rationale Punkte auf Kurven
y~=x(x~--c~).
293 Fiir die Existenz der Begleitformen ( I 9 ) y o n c ist es nur notwendig, dass die Primfaktoren yon c die Gestalt 4 k + i haben. Ohne die Versch~rfung yon 4 k + I zu 8 k § I ist es aber hie mSglich die obigen Bedingungen fiir ~ und ~7 zu er- fiillen.Ffir c ~ I37 haben wir a ~ - II, b----4, und die Formen (19) gehen in
I 5 ( ~ - - ~ ] ' ) - I 4 ~ ; 7(~9--~ ~) + 3 o ~ /
iiber. Im Beispiel 8) kSnnen wir setzen ~---4, ~ = I. Naeh Einfiihrung dieser Werte in die Formen erhalgen wir die Quadrate 169 und 225. Die Ermittlung neuer LSsungen seheint eine reeht sehwierige Aufgabe zu sein. W i t versuehen mit dem einfaehsten FaUe e = 4 I . Als Formen (I9) erhalten wit hier
Der LSsung g---- I, ~1 = o, fiir welehe wit die Quadrate 9 und I bekommen, ent- sprieht das oben angegebene Beispiel I). Es gilt fiir e = 4 1 einen anderen rationalen P u n k t auf der Kurve mit dem Charakter - - I , - - 2 , i anzugeben. Zu dem Ende kSnnen wir yon rationalen P u n k t e n der Kurve mit Charakteren - - x ,
- - I , I und I, 2, I ausgehen, die wir in den folgenden Nummern bestimmen.
Wenn wir zwei solehe P u n k t e dureh eine gerade Linie verbinden, so gehSr~ ja der dritte Sehnittpunkt zum Charakter - - x , - 2, I. Je naeh der ~W'ahl der y:Werte fiir die beiden ersten bekommen wir fiir den dritten P u n k t zwei LSsungen fiir x - e, x und ~ + c. Fiir eine yon diesen LSsungen, die mas bereits dureh das Beispiel ~) bekannt ist, haben wir K---~. Fiir die andere erhiflt man K = der Primzahl 2Io89.
8. Fiir die naeh (15)
zu dem Charakter -- I, -- I, I gehSrenden c-Werte haben wir
e - + + - n ) + n ' ] .
Wiinscht man hier Primzahlwerte fiir c, so muss einer yon diesen F a k t o r e n eine quadra~ische Zahl darstellen. Nun sieht man leicht, dass bei einem gegebenen W e r t fiir den einen Faktor der mitfolgende sich in vier verschiedenen Weisen bestimmen l~sst. Man h a t ja bei der Darstellung des gegebenen Faktors f r e i e W a h l einerseits zwischen geradem und ungeradem n, andererseits zwisehen gleichen und verschiedenen Zeichen fiir m und n, und eine ~ n d e r u n g bei diesen W a h l e n hat Einfluss auf den anderen F a k t o r . W i r nehmen an, der W e f t des Faktors (m + n) 2 + n ~ sei ein Quadrat. Es gibt dann zwei M5glichkeiten fiir ~lie Dar-
9.94 A. Wiman.
stellung des a n d e r e n F a k t o r s durch zwei P a r a m e t e r p u n d v. W e n n i~ ungerade ist, setzen wir
n---/~--~;, m + n=2/~v, m--n~2(,u~'--l, -~+v~).
W i r erhalten hieraus
( 2 0 ) ( m - , 0 ' § = - + + -
,')'.
Bei geradem n werden die S u b s t i t u t i o n e n f i i r n u n d m + n vertauscht, u n d wir bekommen
n ~ - - 2 t t v , m + n ~ l ~ s - - ~ ~, m - - n = p ~ - - - ~ - - 4 1 ~ v . Es ergibt sich also
(20,) (m - - n)' + n ' = (p' -- v' - - 4/zv)' + 4 p ' v ' .
Man k a n n in (20) u n d (201) /, u n d v m i t gleichen oder verschiedenen Zeichen nehmen. Der Ausdruck fiir (m + n) ~ + n 2 wird in allen F~llen (t, 2 + 9.),. Bemerkens- w e f t ist, dass die F o r m e n (20) u n d (201) gleichwertige I n v a r i a n t e n besitzen.
H i e r folgen einige Beispiele. Zuerst werden die W e r t e der F a k t o r e n yon f(m, n) u n d d a n n e angegeben.
x) r e = i , n----I; e = 5 .
2) r e = I , n = 3 ; I3.25; e = I 3 . 3) m = 7, n = 5; 29.I69; e = 29.
4) ra=~ - - I, , = 2I; 925.84I; e--~ 37.
5) m = 4 I , n = 3 9 ; I525.792I ~ 6 1 . 2 5 . 8 9 ~ ; e = 6 l . 6) m = - I, n = 4 ; 41.25; e---4x.
7) m = - - 7 , n = 4 ; I37.25; e~-I37.
8) m = I, n ~ - 2 0 ; 7 6 1 . 8 4 I ; e = 7 6 I .
Aus diesen Beispielen sehen wir, dass fiir e = 5, I3, 29, 37 u n d 6I der R a n g der Kurve drei ist. Es g i b t n u t noeh eine einzige P r i m z a h l 8 k + 5 < Ioo, niim- lieh 53. Die Frage, ob fiir e---53 der R a n g zwei oder drei ist, lassen w~r un- beantwortet. W i e h t i g e r s i n d hier die resultierenden P r i m z a h l e n 8 k + I, well u n t e r diesen die Fiille yore l ~ n g e vier fiir e = p zu suehen sind. D a n a c h der vorhergehenden l~lummer fiir e = 4 I u n d c---I37 aueh der C h a r a k t e r - - i , - - 2 , I d u t c h r~tionale P u n k t e auf der K u r v e vertreten wird, so f o l g t d~mus bereits, dass in diesen Fdllen der l~a.ng v~er ist. Fiir e---76I verhdlt es sieh ebenso, wie wir in der folgenden N u m m e r finden werden. Andere z w e i - o d e r dreizifferige P r i m z a h l e n 8 k + I fiir e als die drei oben angegebenen habe ieh bei F o r t s e t z u n g
Uber rationale P unkte auf Kurven y~=x(x~ 295 d e r U n ~ e r s u c h u n g e n n i c h t finden kSnnen: Die P r i m z a h l e n 8 k + I scheinen also h i e r viel seltener a u f t r e t e n als die P r i m z a h l e n 8 k + 5. Die vierzifferigen P r i m - zahlwerte 8 k + i fiir c, die ich g e f u n d e n habe, s i n d :
(2I) I217, I 3 2 I , 2777, 388I , 4 4 4 I , 6641, 9 2 8 I , 9377, 9521 , 9 6 ~
W i t g e b e n n o e h einige Beispiele, w o e P r o d u k t v o n zwei P r i m z a h l e n ist.
9) m = 7, n = 8; 65.289; c = 65 = 5.13.
IO)
m-~47, n = 12; 3 6 2 5 . I 3 6 9 = i25.29.3-]2; e--- 145 -~ 5.29.IX) m ~--- I I , n = 8; 425.73 ; e = 17.73 = 1241.
I2) m = 6 I , n = 8; 4825.2873 = I 9 3 . 2 5 . I 7 . I 6 9 ; c = 17.I93.
W e n n m a n die P r i m z a h l e n 5 u n d 13 bzw. 5 u n d 29 a u f die beiden F a k t o r e n yon
f(m, n} verteilt, so b e k o m m t m a n c ~ - 6 5 u n d c = 145 fiir m = I, n = 2 bzw.
m = 3 , n = 2 . Die L S s u n g e n c = 17.73 u n d e = I7.193 f a n d ich zuerst bei den O h a r a k t e r e n - - I , - - 2 , I uncl I, 2, I. D a d u r c h erhielt ich die V e r a n l a s s u n g zur A u f s u c h u n g dieser L 5 s u n g e n a u c h fiir den C h a r a k t e r - - I, - - I, I.
9. Fiir den n o c h zu b e h a n d e l n d e n C h a r a k t e r t, 2, I h a b e n wir n a c h (I51)
c -
+_ [(~ + ~)'~
- 2 ~ ' ] [ ( m - . ) ' - 2~].
J e n a c h d e m d a s obere oder u n t e r e Zeiehen %ilt, ist c--- I oder c---7 (rood 8).
H a t m a n n u n fiir e eine P r i m z a h l p, so muss einer y o n den obigen F a k t o r e n ein Q u a d r a t sein. D a wir hier die RoUen y o n m u n d n wechseln kSnnen, so ist es e r l a u b t fiir n e i n e g e r a d e Zahl zu n e h m e n . I s t j e t z t
(m + n) ~ - 2 ~ = 1 ~, so k S n n e n wir setzen
m + n + l = 2 g 2 ; m + n T l = 4 v ~ ; n = 2 g v . H i e r a u s f o l g t
m + n = ~ + 2v~; l = + ( ~ - - 2 v ~ ) ; m - - n = ~ Z + 2 v " ~ - 4 / * v . N a e h A u s s e h e i d u n g des q u a d r a t i s e h e n F a k t o r s (,u ~ - 2 v~) 2 b e k o m m t m a n
(22) * =--- + [($*~ + 2 v ~ - - 4 I . : v ) 2 - - 8 t*2v2].
H i e r z u fiigen w i t einige Beispiele.
I) r e = i , n = 2 ; e~-7.
2) m = 13, n ~ - 6 ; 289.23; e = 2 3 .
296 A. Wiman.
3) m - - 5 , n : 4 ; 4 9 . 3 I ; e = 3 I.
4) m = 53, n = 3 6 ; 53:29.2303 = ~ . 4 9 . 4 7 ; e --- 47.
5) m ~ 6 , n---5; 71.49; e : = 7 1 . 6) m ~ 5 , n = 2 ; e----4I.
7) m ~ 37, n---I4; 2 2 o 9 . I 3 7 - ~ 4 - 7 2 . I 3 7 ; e = I37.
8) m ~ 4 I , n---- IO; 2 4 O l . 7 6 I = 7 4 . 7 6 I ; e---761.
9) m ~ I 3 , n = 4 ; 257.49; e ~ - 2 5 7 , Io) m---17, n = 6 ; 457.49; e ~ - 4 5 7 . ' II) m ~ 7, n = 2 ; e----I7.73.
12) m ~ I I, ~ = 47 e = 17. I93.
Fiir e ~ 7, 23, 3 I, 47 u n d 7I, also ffir die fiinf e r s t e n P r i m z a h l e n 8 k + 7, ist m i t h i n der R a n g drei. Ein a n a l o g e s Verhiiltniss b e m e r k t e n w i t in d e r v o r i g e n N u m m e r ffir die P r i m z a h l e n 8 k + 5- P r i m z a h l e n 8 k + I < IOO gibt es fiinf, ngm- lieh I7, 4[, 73, 89 u n d 97. W i e wir g e s e h e n h a b e n ist es sehr l e i e h t flit c---4I r e p r i i s e n t i e r e n d e P u n k t e zu den drei C h a r a k t e r e n - - I , - - I , I; I, 2, I u n d - - I ,
- - 2 , i zu finden. D a g e g e n ist uns dies in k e i n e m FaUe flit die vier P r i m z a h l e n 17, 73, 89 u n d 97 gelungeu. Die V e r m u t u n g l i e g t nahe, dass d e r R a n g in diesen vier Fi~llen n i e h t fiber zwei k o m m t t. Die P r i m z a h l w e r t e fiir e, zu d e n e n wir e i n e n R a n g vier g e f u n d e n h a b e n , sind 4I, I37 u n d 76I. D o e h h a b e n wir h i e r ffir e --- 76I keine zum C h a r a k t e r - - I, -- 2, I g e h S r e n d e L S s u n g g e g e b e n ; eine solche li~sst sich wohl k a u m o h n e einen s e h r g r o s s e n m i t f o l g e n d e n q u a d r a t i s c h e n F a k t o r hersteUen. M e i n e B e s t r e b u n g e n a u c h fiir a n d e r e Fiille e = i o e i n e n R a n g vier nachzuweisen, wie z. B. ffir eine yon den zehn P r i m z a h l e n (2I), h a b e n zu k e i n e m R e s u l t a t e geffihrt. I e h muss also die F r a g e often lassen, ob es eine b e g r e n z t e o d e r u n b e g r e n z t e A n z a h l d e r a r t i g e r P r i m z a h l e n 8 k + I glbt. N a c h u n s e r e n Resul- t a t e n sind n o e h zwei a n d e r e K u r v e n , e = 17.73 u n d e = 17.I93, d u r e h r a t i o n a l e P u u k t e fiir siimtliche drei C h a r a k t e r e v e r t r e t e n . A u c h h i e r bleibt die F r a g e un- entsehieden, in wie wait, wenn e sowohl P r i m z a h l als z u s a m m e n g e s e t z t e Zahl sein d a f t , die Anzahl der W e r t e m i t dieser E i g e n s e h a f t b e g r e n z t o d e r u n b e g r e n z t ist.
10. W i r b e t r a c h t e u h i e r n o c h den Fall c = 2 p . N a c h Nr. 6 wissen wir, dass, wenn c den F a k t o r 2 enthiilt, so k a n n u n t e r den C h a r a k t e r e n - - I , - - I , i; I, 2, I u n d - - I , - - 2 , I h S c h s t e n s d e r letzte d u t c h r a t i o n a l e P u n k t e v e r t r e t e n werden.
H i e r a u s zogen wir die F o l g e r u n g , dass ffir c----2p, w o p eine u n g e r a d e P r i m z a h l i Dies folgt in der Tat aus einem Satze, nach welchem fiirc =p----a~+ b ~ x (rood 8) mit
a + b ~ + 3 (rood 8) der Rang nut zwei ist.
0ber rationale Punkte auf Kurven yS=x(x2--cS). 297 bedeutet, r Rang hSchstens vier sein kann. Bei diesem h5chsten l~ang vier miissen notwendig rationale P u n k t e mit dem C h a r a k t e r - I , - - 2 , I auf der Kurve vorkommen. Nach (x7) hat man dann
e -= 2 (m' + . ' ) = h, (m, ,,)
wo eine yon den Zahlen m und n gerade und die andere ungerade sein soll.
Primfaktoren yon m 4 + n 4 miissen in diesem Falle yon der Gestalt I6 k + I sein.
Dagegen ist bei den drei F~illen e = p , nttmlich p = 4 I , x37 und 76I, fiir welche wir den Rang vier gefunden haben, stets p----9 (rood I6). Der Gedanke liegt nahe, dass dies iiberhaupt fiir Primzahlen gilt, die zu dem Range vier fiihren.
W i t geben zun~ehst einige Beispiele I) m = I, n = 2; (3 = 2.I 7.
2) m = 2 , n = 3 ; e = 2.97.
3) m = I, n = 4 ; e=-2.257.
4) m = 3, n ---= 4; e --- 2.337.
5) m ~ 2 , n = 5 ; e = 2 . 6 4 I . 6) m = 5 , n = 6 ; e = 2 . I 9 2 1 . 7) m = I 3 , n---8; c = 2 . I I 3 .
[m letzten FaDe ist ein Faktor 17 ~ yon m4+ n 4 ausgesehieden.
Nach Nr. 2, womit man *Rang yon Kurven~, S. 228 vergleiehen mag, sind fiir e = 2 p l p ~ . . . p ~ die Charaktere, welche die P u n k t e x = e , o , - - e auf der Aehse als Reprgsentanten haben, bzw.
( 2 3 ) P l P ~ . . . P r , I, 2; - - I , - - 2 p i p 2 . . . p r , I; - - P l P s ' " . P r , - - I , 2.
Die beiden ersten kSnnen wir als erzeugende Elemente der Gruppe der Charaktere w~hlen. Fiir die Bestimmung des Ranges muss man wissen, wie viele andere erzeugende Elemente noch nStig sind. Dass f i i r c ~ 2.I 7 der Rang vier ist wird dureh die Existenz der Folge
(24) I, 9, I7, 25
klargelegt. Bieraus erhalten wir ja unmittelbav die beiden Punkte, wobei die zugehSrigen Oharaktere beigefiigt werden:
(25) ( I , 9, I7) 17; I, I, 17.
(251) (9, I 7 , 25)14-7; I, I 7 , I.
298 A. Wiman.
D u r c h Kombina~ion b e k o m m e n wir w e l t e r
(25~) ( I 7 , 49, 8 I ) { { ; I7, I , I.
Da k e i n e r d e r Charaktmre (25), (251) u n d (25~) m i t e i n e m C h a r a k t e r (23) fiir lh P~ . - 9 pr---- 17 zusammenfiillt, so muss der R a n g vier sein.
W i r g e b e n noeh fiir e = 34 R e p r i i s e n t a n t e n fiir die iibrigen 0 h a r a k t e r e . O h n e Miihe finder m a n
(I6, 25, 34) 89 I, I, 2.I 7.
(64, 81, 98) 2; I , I, 2.
(I6, I7, 181 34; I, 17, 2.
I n d e m wir die R e l a t i o n e n (4) benu~zen, finden wir l e i e h t die f o l g e n d e n P u n k t e , die zu den noeh iibrigen Oharak~eren gehiJren.
( - - 50, - - I6, I8); - - I , - - 2, I.
( - - 36, - - 2, 32); - - 2, - - I, X.
( - - 9 8 , - - 1 7 , 64) ~4. ~ i , - - 2 , - - I 7 , I.
( - - 3 4 , - - 9 , I6) ]~; - - 2 . 1 7 , - - I, I.
( - - 8 x , - - 32, I7) s~. i 9 , - - I , - - 2 , 17.
( - - I 7 , - 8, I ) ~ 4 ; - 17 ' - - 2 , I.
E i n anderes Beispiel, wo m a n l e i e h t sieh~, dass der R a n g vier ist, h a b e n w i t in e---2.I 13. Ein r a t i o n a l e r P u n k t ist b i e r
(49, 8I, II3)'qt-6-s; I, I, II 3 .
D u r e h K o m p o s i t i o n y o n - I , - - 2 , I m i t I, I, II 3 erhiilt m a n - - I, - - 2, I I 3.
D a k e i n e r yon diesen drei O h a r a k t e r e n m i t einem C h a r a k t e r (23) identiseh ist, so ist u n s e r e B e h a u p t u n g bewiesen. Fiir diese K u r v e geben w i t n o e h die f o l g e n d e n r a t i o n a l e n P u n k t e :
(64, I.I3, I 6 2 ) - ~ - f ; I, I I 3, 2.
(56~, 57 ~, 2.41 *) 2; I, I, 2.
( 1 1 3 ' 4 i ~ , 5 7 ~ ) 16-~' I I 3 ' I, I. 1 J 3 .
Aus diesen P u n k t e n lassen sieh v e r m i t t e l s t der R e l a f i o n e n (4) a n d e r e herleiten.
Zuletzt b e m e r k e n wit, dass der C h a r a k t e r - - 2 , - - I , I d u r e h K o m p o s i t i o n yon I, I, 2 u n d - - I , - - 2 , I e n t s t e h t . Die C h a r a k t e r e , in d e n e n 10 n i e h t eingeht, sind m i t h i n dieselben fiir 19 = 17 u n d 10 = 113.
Uber rationale Punkte auf Kurven yS= x ( x ~ cS). 299 11. F i i r c = 2p, ebenso wie fiir c = p , k S n n e n wir m i t H i l f e yon (23) die v o r k o m m e n d e n C h a r a k t e r e a u f solche reduzieren, in d e n e n p ' n i c h t eingeht. Diese bilden eine G r u p p e ( 2 , 2 , 2 ) , fiir welche m a n - - I , - - I , I; I, 2, I; u n d 2, I, I als e r z e u g e n d e E l e m e n t e n e h m e n kann. Die in dieser G r u p p e e n t h a l t e n e n Cha- r a k t e r e der K u r v e k S n n e n e n t w e d e r aus einer V i e r e r g r u p p e , aus einer Gs o d e r n u r aus der Identit~it bestehen. J e n a c h d e m dies der Fall ist, h a t die K u r v e d e n R a n g vier, drei oder zwei. D a b e i b e z e i c h n e n wir als C h a r a k t e r e der K u r v e d i e j e n i g e n C h a r a k t e r e , die a u f der K u r v e r e p r R s e n t i e r e n d e P u n k t e besitzen. F i i r den R a n g vier k e n n e n wir bereits die B e d i n g u n g , dass - - I , - - 2 , I ein C h a r a k t e r der K u r v e sein muss. D i e s e r C h a r a k t e r ist E l e m e n t in drei V i e r e r g r u p p e n . A b g e s e h e n v o n ; d e r IdentitRt, e n t h a l t e n diese V i e r e r g r u p p e n die Tripel:
26) - - I , - - I , I ; - - I , - - 2, I ; I , 2 , I .
(261) - - l , - - I, 2; - - I, - - 2 , I; 2, I, I.
(26~) - - 2 , - - I , I; - - I , - - 2 , I; x, I, 2.
Mit (26) b r a u e h e n wir uns h i e r n i e h t a u f z u h a l t e n , da wir aus Nr. 6 wissen, dass, wenn e eine g e r a d e Zahl ist, - - i , - - i , i u n d I, 2, I niemals C h a r a k t e r e der K u r v e sind. B e t r e f f e n d die E l e m e n t e in (261) werden wir finden, dass dieselben niemals gleichzeitig C h a r a k t e r e einer K u r v e sein kSnnen. I m Falle yore R a n g e vier muss also das T r i p e l (26~) aus C h a r a k t e r e n der K u r v e bestehen. Zwei Bei- spiele hierzu k e n n e n wir bereits aus der v o r h e r g e h e n d e n N u m m e r .
Bei den f o l g e n d e n Z u s a m m e n s t e U u n g e n fiir x - c, x u n d x:+ c w i r d der g e m e i n s a m e F a k t o r 2 fortgelassen. Fiir den C h a r a k t e r - - I , - - I , 2 e r h a l t e n wir
- - ~ t 2 ~ ~ V 2 ~ 2 W 2.
S e t z e n wir c = 2 cl, so e r g i b t sich hieraus
(27) ci--- u s - v ~ = v ~ + 2 w ~.
M a n h a t also
( 2 s ) u = 2 (v' + w').
Aus (28) f o l g e r t man, dass u gerade, d a g e g e n v u n d w u n g e r a d e sein miissen.
Es ist m i t h i n ex-~ 3 (rood 8). P r i m f a k t o r e n yon el k S n n e n sowohl ~ I als --- 3 (rood 8) sein; d o e h muss die A n z a h l yon der l e t z t e r e n A r t u n g e r a d e sein. I m FaUe e i n e r P r i m z a h l cl muss also diese hier y o n der G e s t a l t 8 k + 3 sein. D a h i e r fiir den C h a r a k t e r - - I, - - 2, I e 1 ~ x (rood I6) ist, so sieht man, dass das
300 A. Wiman.
Tripel (261)niemals Chamtktere einer und derselben fiigen wir einige Beispiele.
I) U = 2 , V = W = I ; e~---2. 3.
2) ~t = IO, v = I, ~ o = 7; C = 2 . 1 I . 3) u---50, v---~ 3I, w---~ I7; e---2.I9.
4) u----26, v---- I7, w = 7 ; e = 2 . 4 3 .
Kurve sein kann. Hierzu
Bei den vier ersten Fitllen e ---- 2p fiir p ---- 8 k + 3 ist demuach der Rang drei.
Fiir e = 6 finder man dieses Resultat in den Tabellen am Ende der Ahandlung y o n BILLING.
I n /ihnlicher Weise nehmen wir fiir den Charakter 2, i, x den Ausgangs- punkt yon
2 ~Z, VZ, ~OZ.
Man h a t also
( 2 7 ~ ) c l - v s - 2 u ~ = w ~ - v ~ ;
( 2 8 ~ ) w ' = 2 ( v ' - u ' ) .
Aus (281) ist ersiehtlieh, class w t~ilbar dureh 4, u und v dsgegen ungerade Zahlen sein miissen. Naeh Einfiihrung yon zwei Parametern m und n bekommen wit jetzt leieht die folgende Darst~llung fiir u, v und w:
(29)
u--~+_..(m z - 2nZ); v = m " + 2nZ; w = 4 m n . Hieraus ergibt sieh naeh (271)(3 ~ ) e l = - - ( m I + 2 n z + 4 m n ) ( m z + 2 n z - 4 m n ) - - - ( m 4 + 4 n ~ - 12m zn z ) =
~_ i 6 m Z n z - (m z + 2uS) s - - 8 m S n z _ (m s - 2uS) s.
Nehmen wir m und n > o, so grit bier die Bedingung 4 r a n > m s + 2 n z.
In (30) soil m eine ungerade Zahl bedeut~n; dagegen kann n sowohl gerade als ungerade seiu. Die Primfaktoren yon r sind yon der Gestalt 8 k _+ i. Da e i m - - I (rood 8), so miissen Primfaktoren 8 k--x in ungerader hnzaJal auftret~n.
Eine Primzahl e I muss also yon dieser A r t sein. Je nach dem Fair,or yon (3o), der Quadrat ist, kann man f i i r c I in zwei Weisen eine Primzahl erhalten. W i t schreiben
(31 ) 4 m n - - m s - 2 n z - ~ 2 n z - ( m - 2 . ) " ; (3Xl) m s + 2 n ~ + 4 m n = ( m + 2n) s - 2 n z.
Uber rationale Punkte auf Kurven yZ~x(xZ--cz). 301 Soil n u n erstens (3 I) ein Q u a d r a t bezeichnen, so muss offenbar n eine u n g e r a d e Zahl sein. Es ist d a n n 2 n z - - 2 (rood I6); H i e r a u s f o l g t ( m - - 2 n) z - I (rood I6).
Das Q u a d r a t ist also ---x (rood I5). M a n sieht hieraus, dass der A u s d r u c k (311) - - I + 8 r a n - - 7 (rood I6) sein muss; etwa hierin eingehende quadratische F a k t o r e n sind ----I (rood I5). I s t c~ eine Primzahl, so muss m i t h i n diese ----7 (rood I6) sein. Zwei Beispiele finder man sofort.
z) m ~ - n ~ I; e = 2 . 7 . 2) m---- 3, n = I ; (~= 2.23.
Is~ andererseits (311) ein Quadrat, so muss n eine gerade Zahl sein. W i e m a n leieht sieht, ist d a n n der A u s d r u c k ( 3 o ) - - - - I (rood I6). D a e t w a a u f t r e t e n d e quadratische F a k t o r e n - - I (rood I6), so ist c~ h i e r - - - - I (rood I6), was aueh gilt,
w e n n e I eine P r i m z a h l bedeutet.
H i e r f o l g e n n u n eiuige wei~ere Beispiele.
3) m----7, n----Io; c----2.3I.
4) m = 7 , n~---6; c--~ 2.47, 5) m----3I, n----Io; c = 2 . 7 9 . 6) m ~ I7, n ~ 8; e ~ 2.I2 7.
N u n sind 7 u n d 23 die beiden ersten P r i m z a h l e n 1 6 k + 7 u n d ebenso 3 I, 47, 79 u n d i27 die vier ersten P r i m z a h l e n I 6 1 r I n allen diesen F~llen ist m i t h i n der R a n g drei fiir r = 2 p.
12. W i r sind also, u m den R a n g vier zu erreichen, a u f das Tripel (26~) hingewiesen. W e n d wir bier zun~chst den C h a r a k t e r I, I, 2 in B e t r a c h t n e h m e n , so h a b e n wir unseren A u s g a n g s p u n k t in der Folge
~Z, f)Z, 2 W ~.
W i r erhalten hieraus Es gilt also die R e l a t i o n
C 1 - - t) z - U z ~ 2 W 2 - V 2.
~2
= 2 ( V ~ - W~),welehe aus (281) hervorgeht, w e n n m a n u u n d w vertauscht. H i e r a u s folgt, dass m a n fiir e I dieselbe P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g wie im vorhergehenden Falle erh~lt, n u t m i t geitndertem Zeichen. W i r bekommeu m i t h i n
(32) r 2 4 7 ~ - I 2 m ~n ~ = ( m 2 - 2 n z ) ~ - 8 m - ~ n ' =
= (m ~ + 2 n V - i 6 m~ n ~ = [ ( m + 2 n ) ~ - 2
~] [(~
- 2 . ) ~ - 2 ~ ] = ~(~, ~).
302 A. Wiman.
H i e r h a t m a n , w e n n m u n d u > 0 g e n o m m e n w e r d e n , m s + 2 n ~ 4 m , .
I s t n u n cl eine P r i m z a h l , so m u s s e i n e r y o n den q u a d r a t i s c h e n F a k t o r e n ein Q u a d r a t sein. H i e f f i i r h a t m a n die B e d i n g u n g , d a s s n e i n e g e r a d e Z a h l sein muss, u n d m a n finder n a c h d e r s e l b e n Schlussweise wie a m E n d e d e r v o r i g e n N u m m e r , dass eine solche P r i m z a h l - - I (rood I6) is~. A u e h h i e r g e b e n w i r e i n i g e Beispiele.
x) m - - - - I , n = z ; c = 2 . x 7 . 2) m ~ - x, n - - - - 6 ; c----2.97 . 3) m - ~ 7 , n - ~ 2 ; r 3.
4) m 23, n ~ 4 2 ; c----2.I93.
5) m - ~ 79, n == 22; c ~- 2.257.
6) m---49, n ~ I 2 ; c----2.337 . 7) m~--- I , n = 3 0 ; C - - ' 2 . I 9 2 I .
I n sitmtHchen diesen sieben Fi~llen ist d e r R a n g v i e r . Ffir sechs F~lle i s t dies b e r e i t s d u t c h Nr. IO k l a r g e l e g t , wo m a n finder, dass a u e h - - I , - - 2 , i ein C h a r a k t e r d i e s e r K u r v e n ist. Fiir ' e ~ 2.337 f o | ~ d e r Beweis a u s d e n h i e r bei B e t r a e h t u n g des O h a r a k t e r s - - 2 , - - x, I f o l g e n d e n R e s u l t a t e n . M a n b e a e h t e , d a s s u n t e r den sieben e r s t e n P r i m z a h l e n I 6 k + I, I7, 97, IX3, I93, 24x, 257 u n d 337 n u t eine, n ~ m l i c h 2 4 I , h i e r o b e n fehlt.
B e i m iibrig b l e i b e n d e n C h a r a k t e r - - 2 , - - I , I h a t m a n fiir die drei G r S s s e n x - c, x u n d x + e die Ausdriicke
- - 2U2~ - - V $, W ~.
M a n b e k o m m t also
(~1"~" 2 U ~ - v ~ v ~ -I- W ~.
H i e r a u s e r g i b t sieh die R e l a t i o n
= : -
:),
welehe sieh y o n (281) n u r dn.rin u n t e r s c h e i d e t , d a s s u u n d v Pl,.tz g e w e e h s e l t h a b e n . A u s den beiden A u s d r i i e k e n fiir c~ s i e h t ran,n, dass c I h i e r n u t P r i m - f a k t o r e n 8 k + I e n t h a l t e n k a n n . M a n b e k o m m t die PA,rnmeterdarstellung
u -~- m ~ + 2 n ~, v -~- q- ( m Z - - 2 nZ), w = 4 m n .
M a n erh~ilt
(321) e l ~ m 4 + n4 + i 2 m ~ n ~ - ( m ~ + 2n~)~ + 8 m ~ n S =
-~ (m ~ - ~.n~) z + I 6 m Z n 2 = fi(m,n).
Uber rationale Punkte auf Kurven y 2 = x ( x 2 - - c 2 ) . 303 W i e im v o r h e r g e h e n d e n Falle ist el ---- I (rood I6). I s t cl eine P r i m z a h l p, so ist also p ~ I 6 k + I. Z u l e t z t geben wir einige Beispiele.
I) m ~ - I, n = I; g , = 2 . 1 7 . 2) m = I i , n = 3 ; c = 2 . 9 7 . 3) m = I, n = 2 ; c ~ - - 2 . I I 3.
4) m = 3 , n = I; e - - 2.I93.
5) m = 2 9 , n = 8 ; e = 2 . 2 5 7 . 6) m = 27, n = 2; e ~- 2.337.
7) r e = I , n----3; e = 2 . 4 3 3 . 8) r e = I , n ~ - 4 ; e = 2 . 1 2 1 7 .
H i e r b e i sind die f o l g e n d e n I d e n t i t i i t e n b e n u t z t : 9 7 . I 7 2 = IO32 + I322;
257.732 = 7132 + 9282;
337.4 I2 = 72i 2 + 2162.
Da e = 2.I93 hier u n t e r den Beispielen v o r k o m m t , so ist es bewiesen, dass der R a n g fiir diesen e - W e f t vier ist. Zu e = 2.I93 muss d a n n a u c h d e r C h a r a k t e r - - I , - - 2 , I geh~iren. Dies wird ~ibrigens d u r c h die I d e n t i t g t
1 9 3 . 7 3 2 = 9 6 1 3 + 3242 ~- 314 + 18 t besti~tigt.
Fiir c = 2 c~ erhiilt m a n beim C h a r a k t e r - - I, - - 2, I den W e r t v o r r a t fiir e l d u r c h die F o r m m 4 + n ~, w o b e i eine y o n d e n Z a h l e n m u n d n g e r a d e a n z u n e h m e n ist. E r s e t z t m a n h i e r n mi~ 2 n, so b e k o m m t man die F o r m
(322) m' + = ] ( . , ,
.).
I n f ( m , n), #(m, n) u n d /~ (m, n) h a b e n wir drei h a r m o n i s e h e F o r m e n m i t d e r s e l b e n i~quianharmonisehen I n v a r i a n t e 16. Man_.bemerke die Analogie m i t dem in Nr. 6 a u f t r e t e n d e n F o r m e n t r i p e l f ( m , n), g (m, n) u n d h (m, n).
Aus den v o r a n g e h e n d e n A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n ist ersiehflieh, dass, falls ein C h a r a k t e r in e i n e m der T r i p e l ( 2 6 ~ ) o d e r (262) a u f e i n e r K u r v e R e p r i i s e n t a n t e n ha~, so k a n n e k e i n e n P r i m f a k t o r 8 k + 5 e n t h a l t e n . E s i s t a l s o der B a n g n u t z w e i f i i r o = 2 p, wenn p eine Prirazahl 8 k + 5 bedeutet. W i r wissen welter, dass, falls cl eine P r i m z a h l io bezeiehnet, so h a t m a n fiir die C h a r a k t e r e - - I , - - I , 2 u n d 2, I, I p = 8 k + 3 bzw. 8 k + 7 u n d fiir die C h a r a l t t e r e - - 2 , - - I , i; - - I, - - 2, I u n d ~, I, 2 p ~- I 6 k + I. Auch w e n n p eine P r i m z a h l I 6 k + 9 ist, hat mithin
304 A. Wiman.
die K u r v e f i i r e = 2 p n u r den R a n g zwei. Hier~u kommt, dass es f i i r p = 8 k + 3 u n d p = 8 k + 7 eine M6gliehkeit yore Range drei gibt, u n d dass n u r f l i t p = 16 k + I der R a n g vier sieh erreiehen liisst.
I I I .
13. W i r wollen in dieser N u m m e r den Fall, wo c ein P r o d u k t yon zwei u n g e r a d e n P r i m z a h l e n darstellt, d u r e h einige Beispiele beleuehten. Es ist uns n i c h t g e l u n g e n die F r a g e zu e n t s c h e i d e n , ob in diesem F a l l e der R a n g h 6 h e r als vier sein k a n n o d e r nieht. I n d e r T a t k e n n e n wir kein Beispiel yon so h o h e m R a n g e als fiinf, w o e n i c h t ausser den Fa.ktoren 2 u n d 3 n o c h w e n i g s t e n s zwei u n g e r a d e P r i m f a k t o r e n enthi~lt.
N a c h Nr. 9 wissen wir, dass fiir e--- I7.73 u n d e = I7.I93 d e r R a n g n i e h t
< 4 ist. W i r woUen h i e r zeigen, dass in diesen Fiillen d e r R a n g aueh n i e h t > 4 sein kann. I n
(33) 17, I, I; I, 17 , I; I, I, 17
n e b s t d e m E i n h e i t s c h a r a k t e r h a b e n wir die E l e m e n t e e i n e r V i e r e r g r u p p e . Eine B e d i n g u n g dafiir, dass wir fiir e = 17.73 e i n e n C h a r a k t e r d e r K u r v e aus (33) e r h a l t e n ist nun, dass wenigstens eine yon den I d e n t i t i i t e n
x z - I 7 y z + 73 e2 = o
sich befriedigen l~sst. Dies ist a b e r u n m 6 g l i c h , da x7 und 73 zu e i n a n d e r q u a d r a t i s c h e N i c h t r e s t e sin& D a dasselbe fiir x 7 u n d 193 gilt, so ist es erwiesen, class fiir e = I7.73 u n d e = I7.193 der R a n g vier ist.
A n d e r e r s e i t s h a b e n w i t in 17 u n d I37 zwei P r i m z a h l e n 8 k + I, welche y o n e i n a n d e r q u a d r a t i s c h e R e s t e sind. Dass f i i r c = I7.~37 der R a n g >= 4 ist, s i e h t m a n aus d e r F o l g e
I 2 I , I37 , I53, 169,
welche y o n e i n e r A r t ist, die in der F o r t s e t z u n g dieses A b s c h n i t t s eine H a u p t r o l l e spielen wird. Die B e d i n g u n g h i e r fiir e i n e n R a n g > 4 ist, dass zu m i n d e s t e n s einem yon den C h a r a k t e r e n
I , ~ I , I; I , 2, I; ~ I , - - 2 , I
r a t i o n a l e P u n k t e a u f d e r K u r v e geh6ren. Es ist uns a b e r n i c h t g e l u n g e n der- a r t i g e P u n k t e zu finden.
0ber rationale Punkte auf Kurven y~'.-~x(x~--c2). 305 Zwei andere Beispiele, wo der Rang der Kurve vier ist, haben wir f i i r c -~ 5.13 und c----5.29. W i r wissen aus Nr. 8, dass in diesen Fiillen - - I , - - I , I zu den 0harakteren der Kurve gehSrt. Fiir c = 5. I3 finder man leicht auf der Kurve den P u n k t
(34) (5, 9, I 3 ) 6 5 .
Es sind also in diesem Falle aueh 5, I, 13 und - - 5 , - - I , x3, welehe dureh Komposition mit - - I , - - I , I entsteht, Charaktere der Kurve. Da keiner yon diesen drei Charakteren mit dem Oharakter fiir einen P u n k t auf der Achse zu- sammenf~llt, so muss der R a n g >= 4 sein. Dasselbe liisst sieh fiir e = 5.29 beweisen.
Indem wir yon dem P u n k t e
(341) (9, 29, 49) 29
ausgehen, kommen wir ja hier zu dem Oharakterentripel
- - I , - - I , I; I, 29, I; -- I, - - 2 9 , I .
Es besteht ein wesentlicher Unserschied zwischen den Fifllen c---5.I3 und e ---- 5.29, indem 5 und 13 quadratische Nichtreste, dagegen 5 und 29 quadratische Reste yon einander sind. H i e r a u f beruht es, dass die Charaktere der Kurven nicht aus einander hervorgehen, indem 13 und 29 vertauscht werden. Es bleibt noch iibrig zu beweisen, dass der Rang der beiden Kurven auch nicht > 4 sein kann. Fiir c = 5 . 1 3 haben wir in
5, 1, I; I, 5, I; 1, 1, 5
ein mit (33) analoges Tripel yon Charakteren, welehe auf der Kurve keine Repriisen- t a n t e n haben. Fiirc----5.29 betrachten wir das Tripel
1, 5, 29; 5, 29, 1; 29, I, 5.
Flier bekommen wir j e d e s m a l f i i r e zwei Ausdriieke. W e n n wir diese identifizieren, so ergilot sieh bzw. die Relationen
(35) u2 + 2 9 w ~ ' - - 2 . S v ~ = o ; 5 u 2 + w~--2.29v~--~-o; 2 9 u ~ + 5 w 2 - 2 v ~ = o . Die linken Glieder sind aber bier keine NuUformen. Keine yon den Relationen (35) li~sst sieh mithin befriedigen, und rationale P u n k t e mit einem yon den drei in Rede stehenden Charakteren gibt es keine auf der Kurve. Aus den vor- angehenden Auseinandersetzungen folgt, dass der R a n g fiir e---~ 5.x3 und e = 5.29 genau vier ist.
2 0 - - 6 3 2 0 4 2 Ac~a mathematica. 7 7
306 A. Wiman.
14. Bei d e r A b f a s s u n g yon ,>Rang yon Kurven,, war mir n u r eine einzige K u r v e (z) vom R a n g e fiinf b e k a n n t , u n d zwar ffir
(36) c = 2.3.5.7. I I . I 3 . I 7.
Diese K u r v e w u r d e aueh d o r t besonders zur B e h a n d l u n g a u f g e n o m m e n . O h n e H i l f e d e r hier f o l g e n d e n E n t w i e k l u n g e n e n t d e e k t e ieh spiiter drei n e u e Fiille, niimlieh fiir
(36j) e = 2 . 3 . 7 . I7.4I, 2.3.73.97, 2.3.97.I93 9
D o e h b e m e r k t e ieh damals nieht, dass d e r R a n g fiir e=~.3.7.17.4i s o g a r seehs ist.
W i t n e h m e n u n s e r e n A u s g a n g s p u n k t y o n zwei Q u a d r a t e n m ~ u n d n s (nS> ms), w o m u n d n r e l a t i v e P r i m z a h l e n bedeugen. Zwei F~lle sind zu u n t e r s e h e i d e n . I m e r s t e n Falle ist w e d e r m noch n t e i l b a r d u r c h 3. Man h a t d a n n in arithme- fischer P r o g r e s s i o n
2 m s + n s m s + 2 n s
3 3
eine von den Zahlen m u n d n 3 als P a k t o r haL, ist (37)
3m'~ z m s + n s, m -~+ 2 n s, 3nS.
(37)
I m zweiten Falle, wo d u t c h
(37~)
zu ersetzen.
I n u n s e r e n U n t e r s u e h u n g e n haben wir e i n e n r a t i o n a l e n P u n k t (lurch die zugehSrigen W e r t e fiir x - e, x u n d x + e eha.ralrterisiert, o h n e den W e r t fiir y besonders anzugeben. H i e r fiihren wir n u n eine V e r k i i r z u n g ein, i n d e m wir die g e m e i n s a m e n F a k t o r e n d e r drei GrSssen, welehe sich j a leicht b e s t i m m e n lassen, n i c h t n i e d e r s c h r e i b e n . So b e d e u t e n z. B. die B e z e i c h n u n g e n (8, 13, I8) u n d ( I I 7 , I 2 I ,
I25)
bei vollst~ndiger A u s f i i h r u n g (8, 13, I8) 13 bzw. ( I I 7 , i2t,I25) ~.
I n (37) haben wit eine Z u s a m m e n f a s s u n g yon zwei r a t i o n a l e n P u n k t e n (38) ( 2 m s + n S m S + 2 n S ) ( ) 3 m ' 3 s ; 2 m s - b n s m s + 2 n s ' 3 ' 3 ' nS '
welche zu derselben K u r v e gehSren. Fiir diese K u r v e ist
(39) e = - -
~/~ m m s 2 m ~ - b ~ s m S + 2 ~ s
3 3 3
wo q u a d r a t i s c h e F a k t o r e n a u s z u s c h a l t e n sind. I n gleicher W e i s e b e k o m m e n wir aus (371) die P u n k t e
