2. Écrire le développement limité très simple à l'ordre m en 0 de la fonction x → (e x − 1) m

MPSI B Année 2017-2018. DS 6 le 02/02/18 29 juin 2019

Exercice 1

1 Soit m un entier supérieur ou égal à 1 . Tous les développements limités se font en 0 . 1. Soit λ un réel non nul. Écrire le développement limité à l'ordre m en 0 de la fonction

x → e ^λx

2. Écrire le développement limité très simple à l'ordre m en 0 de la fonction x → (e ^x − 1) ^m

3. Donner une autre expression du développement limité de la fonction x → (e ^x − 1) ^m

En déduire, pour les entiers j entre 1 et m , la valeur de

m

X

k=1

(−1) ^m−k m

k

k ^j

Exercice 2

1. Décomposer en éléments simples la fraction 4X − 3 X(X − 2)(X + 1)

2. Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 1)

!

n∈ N \ J 0,2 K

.

Problème

Dans ce problème, lorsque P est un polynôme, on notera simplement P (a) le résultat de la substitution de X par a dans P .

1

D'après Concours Commun Centrale Supelec 2000 PC épreuve 1

Un nombre de Pisot est un nombre réel strictement plus grand que 1 et qui est racine d'un polynôme unitaire de degré au moins 1 , à coecients dans Z et dont toutes les autres racines dans C sont de module strictement plus petit que 1 .

On peut le reformuler ainsi : θ ∈ R est un nombre de Pisot si et seulement si θ > 1 et s'il existe P ∈ Z [X ] de coecient dominant 1 tel que

∀u ∈ C : u 6= θ P (u) = 0

)

⇒ |u| < 1

Partie I. Exemples

On note ² θ 0 = ¹ ₂ (1 + √

5) et, pour tout n ∈ N ^∗ ,

P _n = X ⁿ (X ² − X − 1) + X ² − 1

1. En considérant X ² − X − 1 , montrer que θ 0 est un nombre de Pisot.

2. Étude de P 1 = X ³ − X − 1 .

a. Montrer que P 1 a une unique racine réelle ³ , notée θ 1 et appartenant à ]1, √ 2[ . b. Montrer que θ 1 est un nombre de Pisot.

c. Montrer que _θ

^θ ₋₁

= 1 + θ ₁ + θ ² ₁ . 3. Étude de P 2 = X ⁴ − X ³ − 1 .

a. Former le tableau de variations de la fonction d'une variable réelle associée à P ₂ . En déduire que P ₂ admet deux racines réelles notées α et θ ₂ avec α < θ ₂ . Où se placent-elles par rapport à −1 , 0 , 1 ?

b. Montrer que P 2 (− _θ ¹

2

) est strictement négatif.

c. Montrer que θ ₂ est un nombre de Pisot.

4. a. Pour tout n ∈ N ^∗ , montrer que P n admet une racine réelle dans ]1, θ 0 [ . On admet qu'elle est unique et que c'est un nombre de Pisot. On le note θ n . b. Calculer puis factoriser le reste de la division de P _n+1 par P _n en traitant à part

les cas n = 1 et n = 2 . En déduire que (θ _n ) _n∈

N

est strictement croissante.

c. Montrer que (θ n ) _n∈

N

converge vers θ 0 .

2

Ce réel θ

est aussi appelé nombre d'or.

3

Ce réel θ

est appelé aussi nombre d'argent ou nombre plastique.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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MPSI B Année 2017-2018. DS 6 le 02/02/18 29 juin 2019

Partie II. Algorithme d'Euclide.

Soit y 6= 1 un nombre complexe.

1. Calculer la suite, commençant par X ³ − X − 1, X ² − y , des polynômes obtenus par l'algorithme d'Euclide.

2. a. Caractériser de deux manières la propriété : X ³ − X − 1 et X ² − y ont une racine en commun dans C.

b. En déduire que θ ² ₁ est un nombre de Pisot et préciser un polynôme unitaire de Z [X] dont il est la seule racine de module strictement plus grand que 1 .

3. Montrer que θ ³ ₁ est un nombre de Pisot et préciser le polynôme de Z [X ] dont il est la racine de module strictement plus grand que 1 .

Partie III. Puissances presque entières.

Soit a 1 , a 2 , a 3 trois nombres complexes non nuls. On note S 0 = 3 et, pour tout n non nul dans Z, S n = a ⁿ ₁ + a ⁿ ₂ + a ⁿ ₃ .

Dans cette partie, a ₁ , a ₂ , a ₃ sont les trois racines complexes du polynôme P ₁ = X ³ − X −1 déni en I et le nombre de Pisot θ ₁ déni en I.2 et racine de P ₁ sera désigné par θ .

1. a. Calculer S 1 , S 2 , S ₋₁ .

b. Calculer S 3 et montrer que la suite (S n ) _n∈

N vérie une relation de récurrence à préciser.

2. a. Montrer que, pour tout x réel, | sin x| ≤ |x| . b. Montrer que, pour tout k et n dans N,

sin ² (πθ ^k ) ≤ 4π ² θ ^k ,

n

X

k=0

sin ² (πθ ^k ) ≤ 4π ² θ θ − 1 3. Soit u > 0 . Montrer que la suite Q n

k=0 cos(uθ ^−k

n∈ N est convergente. Dans toute la n de cette partie, sa limite est notée Γ(u) .

4. Soit n naturel non nul et s ₁ , s _n , · · · , s _n dans ]0, 1[ . Montrer que (1 − s 1 )(1 − s 2 ) · · · (1 − s n ) ≥ 1 − (s 1 + s 2 + · · · + s n ) 5. a. Montrer que Q n

k=0 cos ² (πθ ^−k

n∈ N converge vers un réel A > 0 . b. Montrer que Q n

k=0 cos ² (πθ ^k

n∈ N converge vers un réel B > 0 . c. Montrer que Γ(πθ ^m ) ²

m∈ N converge vers AB . En déduire que Γ ne converge pas vers 0 en +∞ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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