Enoncés
1) Une chaîne de longueur totale L repose sur le bord d’une table horizontale, maintenue à son extrémité A.
A t = 0, AO = l0. On l’abandonne sans vitesse. On néglige tout frottement.
a) Exprimer la variation d’énergie potentielle dEp de la chaîne pendant une durée dt de chute en introduisant le petit bout de masse δm qui s’est déplacé sur la table dans cette durée.
b) Relier δm à la masse linéique λ de la chaîne et à la longueur de déplacement dx de la chaîne pendant dt. (Une masse linéique est une masse par unité de longueur, de même qu’une masse volumique est une masse par unité de volume). En déduire dEp fonction de la variable x.
c) Exprimer l’énergie cinétique de la chaîne entière. (On se rendra compte que chaque élément de la chaîne possède la même vitesse).
d) Montrer que l’équation différentielle du mouvement de la chaîne s’écrit
€
˙ ˙ x ± ω
2x = 0
. Exprimer ω et préciser le signe + ou - . Pouvait-on prévoir ce signe ?e) Exprimer x(t).
2) Un anneau A de masse m coulisse sans frottement sur un cercle contenu dans un plan vertical. L’anneau est lié à un ressort de raideur k dont l’autre extrémité est fixée en O. On néglige la longueur à vide du ressort.
a) Quelle doit être la vitesse v0 de passage au point A0 (cf schéma) pour que le mobile atteigne avec une vitesse nulle le point C le plus haut ?
b) Quelle est l’expression de la réaction du cercle sur l’anneau lorsque celui-ci passe au point O ?
3) On lance verticalement de la Terre une fusée de masse m avec une vitesse V0 par rapport au référentiel géocentrique. Quelle sera la hauteur H maximale atteinte si on néglige tout frottement ? On suppose connus le rayon terrestre et la masse de la Terre.
Corrigés
1) a) Tout se passe comme si entre t et t+dt un petit bout de masse δm était passé de l’altitude 0 à l’altitude x., d’où
€
dEp= - δm g x
€
Autre façon de voir : L’ énergie potentielle de pesanteur ne varie que dans la partie verticale dont chaque petit maillon de masse δmmaillon situé à l’ordonnée xmaillon contribue à l’énergie potentielle δEp= - δmmaillongxmaillon .(signe – car l’axe x est choisi descendant). Si on ajoute les contributions de tous les maillons verticaux on s’aperçoit que par symétrie (puisque la masse est répartie de façon homogène) l’énergie potentielle de cette partie verticale est
€
Ep= -mgx/2 où m désigne la masse de la partie verticale à t et x sa longueur à t.
A t + dt on a donc Ep+ dEp= - ( m +δm)g(x+dx)/2 d’où dEp = - ( m + δm)g(x+dx)/2 + mgx/2.
Le calcul conduit à 5 termes dont 2 s’éliminent. Un autre contient le produit de 2 infiniment petits δm dx alors que les 2 derniers ne contiennent qu’un seul infiniment petit. On néglige donc le plus faible de ces 3 termes ce qui mène à :
€
dEp= -δmgx/2 – mgdx/2
En utilisant la définition de la densité linéïque , on a δm = λdx et m =λx ce qui donne dEp = -δmgdx Autre façon de trouver mais cela cache la vision du phénomène : Ep = - mgx/2 à t
On différentie, sachant que la masse verticale m et sa longueur x varient : dEp= - dm g x/2 – mg dx/2
dm désigne la variation de masse de la partie verticale correspondant au déplacement dx de la chaîne pendant dt C’est donc aussi δm. On aboutit là aussi au même résultat.
Une autre façon encore est de partir de la définition δW= - dEp . Il faut ici calculer le travail du poids de chaque maillon descendant pendant dt.
Chaque maillon a la masse δm. Ils ont chacun le même déplacement dx. D’où dEp= -
€
δmgdx
∫
; l’intégration donne dEp=-δmgΔx = -δmgxLa difficulté ici est de bien comprendre qu’on intègre sur x et non sur m.
b) δm = λdx d’où dEp= - λ g x dx c)
€
Ec=1
2mx ˙ 2=1 2λLx ˙ 2
d) En l’absence de frottement l’énergie mécanique se conserve : dEc+dEp= 0 ou encore
€
dEc dt +dEp
dt =0
€
soit
€
λL˙ x ˙ ˙ x − λgx˙ x = 0
ou encore€
˙ ˙ x −g
Lx=0 d’où ω2=g/L
Le signe – implique l’absence d’oscillations ce qui correspond à l’intuition physique.
e) La solution s’écrit x = Aeωt+ Be-ωt
Les conditions initiales donnent à t=0 , x = L-l0 et
€
x ˙
= 0 d’où L-l0 = A + B et 0 = (A-B)ω On en conclut A = B = (L-l0)/2Finalement
€
x= L−l0
2
(
eωt +e−ωt)
=(
L−l0)
chω
t2) a) L’anneau dans le champ de pesanteur et lié au ressort est pseudo-isolé puisque non soumis à des frottements : la seule force ne dérivant pas d’une énergie potentielle est la réaction perpendiculaire à la trajectoire ; son travail est nul.
Donc Em= Cte Comme on ne demande pas d’équation différentielle on peut se contenter d’écrire Em(A0) = Em(C ) Cela conduit à k OA02+ m v02 = 0 +2 mga + k (2a)2 après multiplication par un facteur 2 et en ayant pris l’origine des énergies potentielles de pesanteur en O. VEILLER à bien SEPARER les 2 termes d’énergie potentielle d’élasticité et de pesanteur puisque le ressort n’est PAS VERTICAL.
De plus géométriquement OA02 = 4a2sin245° = 2a2
On déduit des 2 relations précédentes v02= 2ga + 2ka2/m après 1 ligne de calcul.
b) Le théorème de l’énergie mécanique fait disparaître l’action de contact Rn. Pour l’obtenir, il faut appliquer le théorème du centre d’inertie à m :
€
P + r r R
n+ r
T = m a r
Lorsque m est en O , la tension est nulle ; la projection sur la verticale conduit à –Rn+mg =-ma
€
θ ˙
2Pour un mouvement circulaire v = a
€
θ ˙
Après remplacement on obtient Rn(en O)= m(g + v2(en O)/a)
Il n’y a plus qu’à trouver l’expression de la vitesse en O par le théorème de l’énergie mécanique appliqué entre O et C :
€
1
2mv2(en O)=2mga+1
2k
( )
2a 2 Ayant la vitesse en O , on remplace dans Rn et on obtient :Rn = 5mg + 4 ka
€
3) Le système fusée dans le champ de gravitation de la Terre est isolé puisqu’on néglige les frottements. On peut appliquer le théorème de l’énergie mécanique entre le lancement et la fin ce course ; sachant que le mouvement est supposé vertical. On note r la distance entre la fusée et le centre de la Terre.
€
€Em =1
2mV02−GmMT
RT =0−GmMT
RT +H De cette relation on tire
€
H= RT 1− V02RT
2GMT
−RT
