II - Anneau K [ X ]

Kdésigne Rou C.

II - Anneau ^K [ X ]

K^Ndésigne l’ensemble des suites à valeurs dansK,K^(N)l’ensemble des suites à valeurs dansKà support fini (i.e. nulles à partir d’un certain rang, dites aussipresque nulles).

Définition :on appelle polynôme à coefficients dansK, toute suite à valeurs dansK à support fini.

Notations : pour n∈ N, on désigne par en la suite (δn,k)_k∈N (dont tous les termes sont nuls sauf le n-ième qui vaut 1).

La suite(an)_n∈Nà support dans[[0, p]]s’écrit ^p

n=0

anen, ou encore^+∞

n=0

anen(étant entendu qu’il s’agit en fait d’une somme finie).

Produit de deux polynômes: SiP =

p i=0

aiei etQ=

q j=0

bjej , alors P×Q est le polynôme ^p+q

k=0

ckek où :

pour0≤k≤p+q, ck=

i+j=k

aibj =

k

i=0

aibk−i =

k

j=0

ak−jbj .

Notation définitive: on vérifie qu’en posant X=e1 on a :

∀n∈N, Xⁿ=en. L’ensemble des polynômes à coefficients dans Kest notéK[X].

La suite P = (an)_n∈N à support dans[[0, p]] s’écrit alors P =

p n=0

anXⁿ=^+∞

n=0

anXⁿ.

Théorème :(K[X],+,×) est un anneau commutatif.

II

II - Degré, valuation

1) Degré

Définition :soitP =^+∞

n=0

anXⁿ∈K[X].

SiP = 0, on appelle degré deP l’entier naturel max{n∈N/ an= 0} , noté degP. Soit p= degP,ap est appelé le coefficient dominant de P.

On dit que P est normalisé ou unitaire si et seulement si ap= 1.

SiP = 0, on pose degP =−∞.

Propriétés :soientP etQdeux polynômes à coefficients dans K. 1)deg (P +Q)≤max (degP,degQ).

2) SidegP = degQ, alors deg(P+Q) = max (degP,degQ).

3)deg (P Q) = degP+ degQ (addition dans N∪ {−∞}).

Conséquence :un produit de polynômes est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul ((K[X],+,×) est un anneau intègre).

Théorème :pour toutp∈N, on poseK_p[X] ={P ∈K[X]/ degP ≤p}= Vect 1, X, X², . . . , X^p ; K_p[X] est un sous-espace vectoriel de dimension p+ 1 de K[X] (mais n’est pas stable pour la multiplication, dès quep≥1 !).

2) Valuation (hors programme)

Définition :soitP ∈K[X], P =^+∞

n=0

anXⁿ.

SiP = 0, on pose valP = min{n∈N/ an= 0}.

SiP = 0on posevalP = +∞.

III

III - Division euclidienne

Théorème et définition :soient Aet Bdeux éléments de K[X]tels que B= 0.

Il existe un unique couple (Q, R) de(K[X])² tel que A=BQ+R et degR <degB.

Q etRsont appelés respectivement quotient et reste dans la division euclidienne deApar B.

Définition :soientA etB deux éléments deK[X]; on dit queA est divisible par B, ou queB divise A, si et seulement s’il existe Q dansK[X]tel que A=BQ.

Propriété : si B= 0, A est divisible par B si et seulement si le reste de la division euclidienne deA parB est nul (le quotient est alors dit quotient exact, notéA/B).

IV

IV - Fonctions polynomiales et notion de racine

1) Fonction polynomiale

Définition :lafonction polynomiale associée àP =

p n=0

anXⁿ est l’application P˜ : K→K x→

p n=0

anxⁿ .

2) Racines d’un polynôme

Définition :soientP ∈K[X]etα∈K.

On dit que αestracine (ouzéro) de P si et seulement siP˜(α) = 0.

Théorème :soitP ∈K[X];P˜(α) est le reste de la division euclidienne deP parX−α; αest racine deP si et seulement si P est divisible parX−α.

Conséquences : 1) SoitP un élément de K[X]etα1, . . . , αn n scalaires distincts deux à deux ; α1, . . . , αnsont racines de P si et seulement siP est divisible par

n

k=1

(X−αk).

2) SoientP un élément deK[X]etn∈N; sidegP ≤netP a au moinsn+ 1racines distinctes, alorsP est le polynôme nul.

SiP admet une infinité de racines, alors P est le polynôme nul.

K étant un corps infini, l’application P → P˜ définit un isomorphisme de K-algèbres de K[X] sur l’ensemble des fonctions polynomiales ; onidentifie souvent P etP˜.

3) Algorithme de Horner

Soient P =

p

n=0 anXⁿ etα∈K. On pose : bp=ap et pourk=p−1, . . . ,0 bk=αbk+1+ak.

Alorsb0 =P(α), ce qui permet de calculerP(α)au prix depadditions etpmultiplications seulement ! De plus, Q=

p−1

n=0

bn+1Xⁿ est le quotient de la division euclidienne deP parX−α.

4) Ordre de multiplicité d’une racine

Définition :soient P ∈ K[X], α ∈ K et k ∈ N^∗ ; on dit que α est une racine de multiplicité (ou d’ordre) k de P si et seulement si (X−α)^k divise P et (X−α)^k+1 ne divise pas P ; autrement dit k= max j∈N / (X−α)^j diviseP .

5) Dérivation formelle

Définition :on appelle dérivation dansK[X]l’unique endomorphisme DdeK[X]tel que : D(1) = 0 et ∀n∈N^∗ D(Xⁿ) =nXⁿ⁻¹.

Pour P dans K[X],D(P)est aussi noté P^′, et, sik∈N,D^k(P) est notéP^(k) (dérivation à l’ordre k).

NB : sur R, la fonction polynomiale associée à P^′ coïncide bien avec la dérivée de la fonction polyno- miale associée àP !

Propriétés :1)D est surjectif, non injectif ;KerD=K(ensemble des polynômes constants).

2)∀(P, Q)∈K[X]² (P Q)^′ =P^′Q+P Q^′. 3)Formule de Leibniz :

∀(P, Q)∈K[X]² ∀n∈N (P Q)⁽ⁿ⁾=

n

k=0 n

k .P^(n−k)Q^(k).

4) Soit P =

p

n=0

anXⁿ, de degré p ; si k > p, alors P^(k) = 0 ; si k ≤ degP, alors degP^(k) =p−k et plus précisément :

P^(k) =

p

n=k

n!

(n−k)!anX^n−k=

p−k

n=0

(n+k)!

n! an+kXⁿ.

Formule de Mac-Laurin pour les polynômes: siP est un polynôme de degrép, alors P =

p

n=0

P⁽ⁿ⁾(0) n! Xⁿ=

+∞

n=0

P⁽ⁿ⁾(0) n! Xⁿ. Formule de Taylor pour les polynômes: soient P ∈K[X]etα∈K,

P(X) =

+∞

n=0

P⁽ⁿ⁾(α)

n! (X−α)ⁿ et P(α+X) =

+∞

n=0

P⁽ⁿ⁾(α) n! Xⁿ.

Conséquence :pour tout p deNet tout αdeK, (X−α)ⁿ _0≤n≤p est une base de K_p[X].

6) Caractérisation des racines multiples d’un polynôme

Théorème :soientP ∈K[X],α∈Ketk∈N^∗.

1)αest racine d’ordre kdeP si et seulement si :

∀j∈ {0,1, . . . , k−1} P^(j)(α) = 0 et P^(k)(α) = 0.

2) Siαest racine d’ordrekdeP, alors, pourℓ≤k−1,αest racine d’ordrek−ℓdeP^(ℓ).

V

V - Polynômes scindés

1) Définitions

Un polynôme P de K[X]est dit scindé sur K si et seulement si P est constant ou admet des racines dans Kdont la somme des multiplicités vautp= degP.

Tout polynôme scindé non constant s’écrit sous la forme P =λ

m

j=1

(X−αj)^kj,

avec λdans C^∗, lesαj dans C, distincts deux à deux, leskj dans N^∗. {α1, . . . , αm} est l’ensemble des racines deP,mest le nombre de racines de P (degP =

m

j=1

kj).

On peut aussi écrire

P =λ

p

i=1

(X−ri).

On dit que (r1, . . . , rp) est un système de racines de P : parmi les ri, qui ne sont pas nécessairement distincts, on retrouve chacun des αj, répété autant de fois que son ordre de multiplicité (degP =p).

2) Relations entre coefficients et racines d’un polynôme scindé

a) Fonctions symétriques élémentaires

Soit (r1, . . . , rp)∈K^p ; lesfonctions symétriques élémentaires der1, . . . , rp sont les σk=

1≤i₁<i₂<···<ik≤p

ri1ri2. . . rik , 1≤k≤p.

La somme et le produit sont les seules au programme en PCSI : σ1 =

p

i=1

ri , σp=r1r2. . . rp=

p

i=1

ri.

b) Relations entre coefficients et racines Théorème :soientp≥1, P =

p

n=0anXⁿ dans K[X], de degré p (ap= 0), et(r1, . . . , rp) dansK^p. (r1, . . . , rp) est un système de racines de P si et seulement si

∀k∈N_p σk= (−1)^kap−k

ap . En particulier, la somme des racines estσ1 =−ap−1

ap

et leur produit estσp = (−1)^p a0

ap

. Lorsque c’est le cas, on a

P =ap p

i=1

(X−ri) =ap X^p+

p

k=1

(−1)^kσkX^p−k =ap X^p−σ1X^p−1+· · ·+ (−1)^pσp .

c) Cas p= 2

Pourr1, r2 dansK, on a : (X−r1) (X−r2) =X²−σ1X+σ2 où σ1 =r1+r2 et σ2 =r1r2. Il en résulte que, si l’on cherche deux nombres connaissant leur sommeSet leur produitP, ces nombres forment nécessairement un système de racines du polynômeX²−SX+P. Ils existent toujours lorsque K=C. LorsqueK=R, ils existent si et seulement si S²−4P ≥0.

VI

VI - Polynômes irréductibles dans ^C [ X ] , dans ^R [ X ]

1) Définition

Un polynôme P deK[X]est ditirréductible dansK[X]si et seulement siP est non constant et admet pour seuls diviseurs dans K[X]les λet les λP,λ∈K^∗.

Caractérisation :P, non constant, est irréductible dansK[X]si et seulement siP ne peut pas s’écrire sous la forme du produit de deux polynômes non constants.

Exemples : les polynômes de degré 1 sont irréductibles ;X²+ 1est irréductible dans R[X], mais pas dansC[X](oùX²+ 1 = (X−i)(X+i)).

2) Irréductibilité dans

a) Théorème de d’Alembert-Gauss

Tout polynôme non constant de C[X]admet au moins une racine dans C. b) Conséquences

1) Tout polynôme deC[X]est scindé sur C.

2) Les polynômes irréductibles deC[X]sont les polynômes de degré 1.

3) Tout polynôme non constant P de C[X] se décompose en produit de facteurs irréductibles dans C[X]sous la forme

P =λ

m

j=1

(X−αj)^kj,

avecλdansC^∗, les αj dansC, les kj dans N^∗. c) Exemple fondamental

Soit n∈N^∗ ; les racines du polynôme Xⁿ−1 sont les racines n-ièmes de l’unité : Xⁿ−1 =

n−1

k=0

X−e^2ikπ/n .

3) Irréductibilité dans

1)P(α) =P(α).

2) Siα est racine deP, alors αest racine deP avec la même multiplicité.

Conséquences : 1) Les polynômes irréductibles deR[X]sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.

2) Tout polynôme non constant P de R[X] se décompose en produit de facteurs irréductibles dans R[X]sous la forme

P =λ

m

i=1

(X−αi)^ki

n

j=1

(X²+bjX+cj)^ℓj,

avec λ dans R^∗, les αi, bj, cj dans R, tels que : ∀j ∈ N_n b²_j −4cj < 0 et les ki, ℓj

dansN^∗ (on peut avoir moun nul, le produit correspondant valant alors 1).

VII

VII - Corps ^K ( X ) (hors programme en PSI)

1) Présentation

On pose E = K[X]×(K[X]\ {0}). Étant donné un couple (A, B) de E, la fraction rationnelle F de représentant (A, B) est l’ensemble des couples (P, Q) de E tels que AQ = BP (ces couples sont les représentants deF). On convient, si(P, Q) est l’un de ces couples, d’écrire

F = A B = P

Q.

L’ensemble de ces fractions rationnelles, ditesà coefficients dans K, est notéK(X).

Étant donnés F, G dans K(X) et (A, B), (C, D) dans E tels queF = A

B et G= C

D, on vérifie que les fractions rationnelles AD+BC

BD et AC

BD restent inchangées si l’on remplace (A, B),(C, D)par d’autres représentants de F, G respectivement. On peut donc poser

F +G= AD+BC

BD et F ×G= AC BD.

On vérifie que les deux lois de composition internes+et×ainsi définies confèrent àK(X)une structure de corps.

On convient d’identifier P etP/1. K[X]apparaît ainsi comme un sous-anneau de(K(X),+,×).

2) Degré d’une fraction rationnelle

Théorème et définition :soit F = A

B ∈K(X)(avec A, B dans K[X],B= 0).

L’élémentdegA−degBdeZ∪ {−∞}ne dépend pas du choix du représen- tant (A, B) deF. On l’appelle degré deF, noté degF.

NB : 1) La différencedegA−degBest bien définie dansZ∪ {−∞}carBest non nul, doncdegB∈N. 2) LorsqueF est un polynôme, on retrouve bien son degré !

3) Représentants irréductibles

Définition :soitF ∈K(X); on appellereprésentant irréductibledeFtout couple(A, B)de polynômes premiers entre eux (i.e. n’ayant aucun facteur irréductible commun dans K[X]) tel que F = A

B. On dit aussi que la fraction A

B est irréductible.

Propriétés :toute fraction rationnelle F admet des représentants irréductibles ; si (A, B) est l’un d’eux, alors l’ensemble des représentants irréductibles de F est {(λA, λB), λ∈K^∗} et l’ensemble des représentants deF est{(AP, BP), P ∈K[X]\ {0}}.

4) Fonctions rationnelles

Définition :soientF ∈K(X)et(A, B) un représentant irréductible deF ; la fonctionF˜ deKdansK qui à x associe F(x) =˜ A(x)

B(x) ne dépend pas du choix de (A, B) parmi les représentants irréductibles deF . On l’appelle fonction rationnelle associée àF.

Son ensemble de définition est K\ {x∈K/ B(x) = 0}.

L’application F → F˜ définit un isomorphisme de corps de K(X) sur l’ensemble des fonctions ra- tionnelles ; onidentifie souvent F etF˜.

5) Zéros et pôles d’une fraction rationnelle

Soient F ∈K(X),(A, B) un représentant irréductible deF,α∈Ketk∈N^∗.

1) αest unzéro d’ordre kde F si et seulement siαest racine d’ordre kdu numérateurA.

2) αest unpôle d’ordre kde F si et seulement siαest racine d’ordre kdu dénominateurB.

6) Décomposition en éléments simples

a) Partie entière

Toute fraction rationnelleRdeK(X)s’écrit de manière uniqueR=E+F, avecE polynôme deK[X]

etF fraction rationnelle de degré strictement négatif. E est lapartie entière de R.

En outre, E est le quotient de la division euclidienne de Apar Bpour tout représentant (A, B) deR.

b) Partie polaire relative à un pôle α

Soit R∈K(X) etα∈K,k∈N^∗ tels que αsoit un pôle d’ordrek deR. Rs’écrit de manière unique R=

k

j=1

λj

(X−α)^j +R1

où (λ1, . . . , λk)∈K^k etR1 ∈K(X),R1 n’admettant pasα pour pôle.

k

j=1

λj

(X−α)^j est lapartie polaire deRrelative au pôle α.

Remarques pratiques :

1) Le coefficientλk s’obtient immédiatement :

λk= (X−α)^kR (α)

(la fraction rationnelle (X−α)^kR n’admet plus α pour pôle, on peut donc évaluer la fonction rationnelle associée enα!).

SiR= A

(X−α)^kQ , avecA, Qpolynômes tels queA(α) = 0, Q(α) = 0, alors λk= A(α)

Q(α).

Itération: une foisλkdéterminé, on peut réduire au même dénominateur et simpliferR− λk

(X−α)^k, dontαest pôle d’ordre strictement inférieur àk! On peut alors appliquer les remarques précédentes à cette nouvelle fraction rationnelle et réitérer jusqu’à ce queαne soit plus pôle. . .

2) Cas d’un pôle simple : si R = A

B, avec A, B polynômes tels que B = (X−α)Q, A(α) = 0, Q(α) = 0, alors la partie polaire de Rrelative au pôle simpleαse réduit à λ

X−α, avec λ= A(α)

B^′(α).

3) Cas d’un pôle double : siRadmet αcomme pôle d’ordre 2, la partie polaire correspondante est de la forme λ1

X−α+ λ2

(X−α)², avec

λ2 = (X−α)²R (α) et λ1= (X−α)²R ^′(α)

(en effet (X−α)²R est de la forme : λ2+ (X−α)λ1+ (X−α)²R1, où R1 n’admet pas α pour pôle).

4) Penser aussi que, lorsqu’il ne manque qu’un ou deux coefficients, on peut obtenir une relation en évaluant Ren un point bien choisi. LorsquedegR <0, on peut également déterminer la limite en +∞de la fonction rationnelle x→xR(x).

c) Décomposition en éléments simples dans C(X)

Théorème :toute fraction rationnelle R de C(X) est égale à la somme de sa partie entière et de ses parties polaires.

On obtient ainsi l’existence et l’unicité dela décomposition en éléments simples de Rsous la forme

R=E+

m

i=1





ki

j=1

λi,j

(X−αi)^j





où :

•E est un polynôme deC[X](la partie entière de R) ;

•les complexesαi sont les pôles deR,ki étant l’ordre de multiplicité de αi ;

•les λi,j sont des nombres complexes, coefficients des différentes parties polaires de R.

Exemple fondamental : décomposition en éléments simples de P^′ P

Soit P ∈C[X]et (r1, . . . , rp) un système de racines de P (répétées selon leur multiplicité !). Ainsi, en notant ap le coefficient dominant de P, on a :

P =ap p

i=1

(X−ri) et P^′ P =

p

i=1

1 X−ri. En effet,

P^′=ap p

i=1j=i

(X−rj).

De même, en regroupant les racines multiples, notant{α1, . . . , αm}l’ensemble des racines deP etkj la multiplicité deαj pour toutj de[[1, m]], on a :

P =ap m

j=1

(X−αj)^kj et P^′ P =

m

j=1

kj

X−αj

.

d) Décomposition en éléments simples dans R(X) Toute fraction rationnelleRdeR(X) se décompose sous la forme

R=E+

m

i=1





ki

j=1

λi,j

(X−αi)^j



+

n

i=1





ℓi

j=1

µ_i,jX+νi,j

(X²+aiX+bi)^j





où :

•E est un polynôme deR[X](la partie entière de R) ;

•les réelsαi sont les pôles de R,ki étant l’ordre de multiplicité deαi ;

•les λi,j sont des nombres réels, coefficients des différentes parties polaires deR;

•les termes de la dernière somme sont leséléments simples de seconde espèce, associés aux éventuels facteurs irréductibles du second degré du dénominateur deRdansR[X]; lesµ_i,j, νi,j, ai, bi sont des réels tels que, pour touti,a²_i −4bi<0.

e) Cas particulier important

Si le dénominateur deR admet un unique facteur irréductible B (R= A

B^k avecA∈K[X]etk∈N^∗), alors la décomposition en éléments simples deRs’obtient en effectuant la division euclidienne deApar B, soitA=BQ1+R1, puis la division euclidienne de Q1 parB, soitQ1 =BQ2+R2, etc.

En effet on a alors :

R= A

B^k = Q1

B^k−1 + R1

B^k = Q2

B^k−2 + R2

B^k−1 + R1

B^k =· · · Tant que Qj = 0, on adegQj = degA−jdegB.

Or on stoppe bien sûr les calculs dès queQj = 0 ou j=k.

Par conséquent, l’itération s’arrête au pire avec le calcul de Qk, qui est la partie entière de R.