A240 – Un polynôme du sixième degré
Solution
Le polynôme P(x) est de la forme P(x) = k(x-a).(x-b).(x-c).(x-d).(x-e).(x-f) où a, b, c, d, e et f sont les racines toutes distinctes. On suppose que a < b < c < d < e < f.
Comme P(A) = 65536 = 2 et P(B) = 45441 = 16 35.11.17 ont pour PGCD 1, il en résulte que k=1 ou –1.Par ailleurs A est impair et B est pair car respectivement P(A) et P(B) sont pair et impair : les 6 termes A-a, A-b, etc.. ont la même parité et sont nécessairement pairs tandis que les 6 termes B-a, B-b,…sont nécessairement impairs.
Supposons k = 1. P(A) = (A-a).(A-b).(A-c).(A-d).(A-e).(A-f)
On ne peut pas avoir A > f sinon P(A) = 2p.2q.2r.2s.2t.2u avec p + q + r + s + t + u = 16 et u
t s r q
p .Or 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 > 16 ce qui est impossible. De la même manière on ne peut pas avoir A<a.
De même on ne peut pas avoir A>e et A<f ni A>c et A<d car P(A) serait <0. Les cas possibles sont donc :A>d et A<e d’une part et A>b et A<c.
Par exemple si A>d et A<e, P(A) s’écrit P(A)=2p.2q.2r.2s.(-2)t.(-2)u=2 16
Il en résulte 16 « sextuplés » possibles (A-a, A-b, A-c, A-d, A-e, A-f) qui sont recensés ci- après :
Quand on analyse la factorisation de P(B), on observe que P(B) a pour diviseurs possibles 3,17,33 qui sont respectivement égaux à 2+1, 16+1 et 32+1.Il est donc naturel de considérer que B=A+1. Testons cette hypothèse et regardons ce que donne P(B) à partir du tableau précédent :
On voit immédiatement qu’il n’y a qu’un « sextuplé » qui donne le valeur 45441 de P(B) et qui correspond à A-a = 32, A-b =16, A-c = 8, A-d = 2, A-e = -2, A-f = -4
On en déduit f = e+2 = d+6 = c+12 = b+20 = a+36 qui détermine l’espacement des nombres premiers qui sont les racines de P(x).
La table des nombres premiers inférieurs à 300 donne les séquences suivantes qui obéissent à cet espacement :
7, 23, 31, 37, 41 et 43 37, 53, 61, 67, 71 et 73 73, 89, 97, 103, 107 et 109 247, 263, 271, 277, 281 et 283
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A-a 16 16 32 32 32 32 64 64 16 32 16 8 8 4 8 4
A-b 8 8 8 8 16 16 8 16 4 2 2 4 2 2 2 2
A-c 4 4 4 4 4 8 4 4 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
A-d 2 2 2 2 2 2 2 2 -4 -4 -4 -4 -4 -8 -4 -4
A-e -4 -2 -2 -4 -2 -2 -2 -2 -8 -8 -8 -8 -16 -16 -8 -16
A-f -16 -32 -16 -8 -8 -4 -8 -4 -16 -16 -32 -32 -32 -32 -64 -64
P(A) 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
B-a 17 17 33 33 33 33 65 65 17 33 17 9 9 5 9 5
B-b 9 9 9 9 17 17 9 17 5 3 3 5 3 3 3 3
B-c 5 5 5 5 5 9 5 5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
B-d 3 3 3 3 3 3 3 3 -3 -3 -3 -3 -3 -7 -3 -3
B-e -3 -1 -1 -3 -1 -1 -1 -1 -7 -7 -7 -7 -15 -15 -7 -15
B-f -15 -31 -15 -7 -7 -3 -7 -3 -15 -15 -31 -31 -31 -31 -63 -63
P(B) 103275 71145 66825 93555 58905 45441 61425 49725 26775 31185 33201 29295 37665 48825 35721 42525
….
Les deux premières séquences sont exclues car 75 est plus grand que toutes les racines
P(75) serait >0. De même la dernière séquence (ainsi que toutes celles qui sont lui supérieures) ne convient pas car 75 est plus petit que toutes les racines P(75) serait également >0. Seule la troisième séquence dans laquelle 75 s’intercale entre la 1ère et la 2ème racines donne P(75)<0.
Les racines de P(x) sont donc 73, 89, 97, 103, 107 et 109. Pour mémoire A=105 et B=106.
On vérifie que pour tout valeur de B différente de A+1 et égale à A+3,A+5,…ou A-1,A- 3,…on ne retrouve jamais la valeur de P(B)=45441.
Nota : si on suppose k = -1 , on a la relation P(A) = - (A-a).(A-b).(A-c).(A-d).(A-e).(A-f) à partir de laquelle on mène le même raisonnement que précédemment et on constate qu’avec les 18 « sextuplés » possibles (A-a, A-b, A-c, A-d, A-e, A-f) il n’y a pas de solution possible donnant P(B)=45441 notamment pour B=A+1 mais également pour toute valeur de B = A +/- (2k+1).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A-a 32 64 32 16 128 64 32 32 32 16 16 16 16 8 8 8 32 2
A-b 16 4 8 8 4 8 16 8 4 8 4 4 4 4 4 4 4 -2
A-c 8 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -4
A-d 4 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -4 -2 -2 -4 -2 -8
A-e 2 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -8 -8 -4 -8 -8 -8 -16
A-f -2 -16 -16 -16 -8 -8 -8 -8 -32 -32 -64 -32 -16 -128 -64 -32 -16 -32
P(A) 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536 65536
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
B-a 33 65 33 17 129 65 33 33 33 17 17 17 17 9 9 9 33 3
B-b 17 5 9 9 5 9 17 9 5 9 5 5 5 5 5 5 5 -1
B-c 9 3 3 5 3 3 3 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 -3
B-d 5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -3 -1 -1 -3 -1 -7
B-e 3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -7 -7 -3 -7 -7 -7 -15
B-f -1 -15 -15 -15 -7 -7 -7 -7 -31 -31 -63 -31 -15 -127 -63 -31 -15 -31
P(B) 75735 43875 40095 34425 40635 36855 35343 31185 46035 42687 48195 55335 80325 51435 59535 87885 51975 29295
