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IR f f ( x )=2 [ a ; b ] f f ( x )= k [ a ; b ] …..................... k [ f (a); f ( b )] c f [ a ; b ] Remarque : I Remarque : f I I f a f I a

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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1/3 - Chap.

Cours n°6 : Continuité, théorème des valeurs intermédiaires VII) Continuité d'une fonction – théorème des valeurs intermédiaires

Définition n°8

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de cet intervalle.

f est dite continue en a si …... =...

…...

f est dite continue sur I si elle est continue en tout nombre de l'intervalle I .

Remarque :

Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont la représentation graphique sur cet intervalle se trace sans lever le crayon.

Exemple n°13 :

La fonction partie entière est discontinue à chaque …...

…...

La fonction carrée est …... sur …...

Propriété n°9 (admis)

Les fonctions dérivables sur un intervalle sont continues sur cet intervalle.

Remarque :

Les fonctions rencontrées jusqu'à présent sont très souvent continues sur leur ensemble de définition.

Propriété n°10 : théorème des valeurs intermédiaires (admis) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] .

Alors, quelque soit le réel k de l'intervalle [f(a);f(b)] , il existe au moins un nombre c

de l'intervalle [a;b] tel que …...

Remarque :

Autrement dit, si f est une fonction continue, l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans l'intervalle [a;b] .

Exemple n°14 :

Soit la fonction f définie par f ( x )= x

3

+5

x

2

+3 . L'équation f(x)=2 admet-elle au moins une solution sur IR ? Justifier.

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Propriété n°11 : Théorème de la bijection

Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle [a;b] , alors pour tout réel k de l'intervalle [f(a);f(b)] , il …...

…... tel que …...

Remarque :

Ce théorème est une conséquence (=corollaire) du théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple n°15 :

Soit la fonction f définie par f ( x )= 5

x

2

+3 . L'équation f(x)=1 admet-elle une solution sur IR

+

? Cette solution est-elle unique ? Justifier.

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