TS Démonstration : propriété 2 (I.4. Intégrale et primitive) 2011-2012
Soitf une fonction continue sur un intervalleI etaun nombre deI.
La fonction F :x7−→
Z x a
f(t)dt est une primitive def surI.
C’est l’unique primitive def qui s’annule ena.
Le cadre de cette démonstration est celui d’une fonction continue croissante et positive sur I.
0 a x b
Cf
F :x7−→
Z x a
f(t)dt
F primitive de f sur I ⇔ ∀ x ∈ [a; b], F
′(x) = f (x).
La démonstration consiste donc à prouver queF est dérivable sur [a;b] et que pour toutx0∈[a;b], F′(x0) =f(x0).
• Soitx0∈[a;b] tel quea < x0< x.
L’objectif est d’évaluer le taux d’accroissement deF enx0 c’est à dire F(x)−F(x0) x−x0
. Commençons par F(x)−F(x0) : il s’agit de l’aire comprise entre la
courbeCf, l’axe des abscisses et par les droites parallèles à (Oy) passant par (x0,0) et par (x,0).
On peut encadrer cette aire par l’aire de deux rectangles de hauteur f(x0) etf(x). On obtient :
f(x0)(x−x0)6F(x)−F(x0)6f(x)(x−x0)
⇔ f(x0)6F(x)−F(x0) x−x0
6f(x) (1) carx > x0 et x−x0>0
0 a x0 x b
Cf
Par ailleurs,f est continue surI donc en particulier enx0, ce qui se traduit par :
x→xlim0
f(x) =f(x0)
En appliquant le théorème des gendarmes, à partir de la double inégalité(1), on obtient en tenant compte du fait quex0< x :
x→xlim0
f(x) =f(x0)
xlim→x0
f(x0) =f(x0) (constante) Inégalité (1)
⇔xlim→x
0
x>x0
F(x)−F(x0) x−x0
=f(x0)
• Pourx0∈I vérifianta < x < x0, la démonstration est comparable et on obtient :
xlim→x0
x<x0
F(x)−F(x0)
x−x0 =f(x0)
• Conclusion : Les deux limites étant égales, la limite en x0 existe et est finie égale àf(x0) doncF est dérivable enx0pour toutx0 de [a;b] ce qui prouve queF est dérivable sur [a;b].
En d’autres termes∀x0∈[a;b], lim
x→x0
F(x)−F(x0) x−x0
=f(x0) doncFdérivable enx0et∀x∈[a;b], F′(x) =f(x) Par des considérations géométriques, il est clair queF(a) =
Z a a
f(t)dt= 0
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