Pour f positive sur I = [a ; b] alors F définie sur I par F (x) = Z x

Calcul Intégral - Éléments de Cours

Dans tout ce cours, f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I contenant a, b et c tels que a < b < c.

Théorème (admis) : Elles admettent donc respectivement des primitives F et G sur I.

Remarque : (vu en février)

Pour f positive sur I = [a ; b] alors F définie sur I par F (x) = Z x

a

f (t) dt est une primitive de f sur I .

Propriété : On peut alors écrire Z b

a

f (x) dx = F (b) − F(a) , pour F primitive quelconque de f sur I = [a ; b].

Preuve : pour f > 0 sur I .

La fonction G définie sur I par G(x) = Z x

a

f (t) dt est une primitive de f sur I .

On a alors : G(x) = F (x) + k, ∀ x ∈ I , où k ∈ R . (Deux primitives d’une même fonction différent d’une constante) Or G(a) =

Z a a

f(t) dt = 0 donc 0 = F (a) + k ⇔ k = − F (a).

Donc G(x) = Z x

a

f (t) dt = F(x) − F (a), ∀ x ∈ I. On a le résultat avec x = b.

Remarques :

• On accepte cette propriété pour f non positive sur I .

• Graphiquement, si F (x) = Z x

a

f (t) dt, on a visuellement Z c

b

f (x) dx = F (c) − F (b) ci-contre. a b c

• Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : Z b

a

f (x) dx = F (b) − F (a) = (F(b) + k) − (F (a) + k).

• Z a

a

f (x) dx = F (a) − F (a) = 0.

• Z a

b

f (x) dx = F (a) − F (b) = − (F (b) − F (a)) = − Z b

a

f (x) dx.

• On note [F (x)] ^b _a = F (b) − F(a).

Exemples :

• I = Z 10

1

1 x ² dx =

− 1 x

¹⁰

1

= − 1 10 −

− 1 1

= 1 − 1 10 = 9

10

• J = Z ³

1

6

√ 2x + 3 + x

dx = Z ³

1

3u ^′

√ u + x

dx =

3 × 2 √ u + x ²

2 ³

1

=

6 √

2x + 3 + x ² 2

³

1

avec

u(x) = 2x + 3 > 0 sur [1; 3]

u ^′ (x) = 2 , d’où J =

6 √

9 + 3 ² 2

−

6 √ 5 + 1 ²

2

= 18+ 9 2 − 6 √

5 − 1

2 = 22 − 6 √ 5.

Remarque : On peut vérifier avec Xcas en tapant f(x):=6/sqrt(2x+3)+x puis simplifier(int(f(x),x,1,3)).

Propriété : (Relation de Chasles) Z b

a

f (x) dx + Z c

b

f (x) dx = Z c

a

f (x) dx .

0 1 2 3 4

1

b

a c

Preuve : Z ^b

a

f(x) dx + Z ^c

b

f (x) dx = F (b) − F(a) + F (c) − F (b) = F(c) − F (a) = Z ^c

a

f (x) dx.

Propriété : Z b

a

( − f (x)) dx = − Z b

a

f (x) dx . Preuve :

Z ^b

a

( − f (x)) dx = [ − F (x)] ^b _a = − F (b) − ( − F (a)) = F (a) − F(b)

= R a

b f (x) dx = − R b

a f (x) dx.

0 2 4 6

Remarque : Les deux dernières propriétés permettent d’établir que l’intégrale d’une fonction sur un intervalle est la somme des surfaces des

« zones positives » moins la somme des surfaces des « zones négatives ».

Ci-contre, on a : Z b

a

f (x) dx = Z c

a

f (x) dx + Z d

c

f (x) dx + Z b

d

f (x) dx = A 1 − A 2 + A 3 , où les A i sont les surfaces.

2 4 6

a A

₁

c d b

A 2

A 3

Propriétés : linéarité

• On a : Z b

a

(f (x) + g(x)) dx = Z b

a

f (x) dx + Z b

a

g(x) dx . Preuve :

Z b a

(f (x) + g(x)) dx = [F (x) + G(x)] ^b a

= (F (b) + G(b)) − (F (a) + G(a)) = F (b) − F (a)+ G(b) − G(a).

• On a : Z b

a

λf (x) dx = λ Z b

a

f (x) dx, où λ ∈ R . Preuve :

Z b a

λf (x) dx = [λF (x)] ^b a

= λF (b) − λF (a) = λ (F (b) − F(a)) = λ R b

a f (x) dx.

2 4 6

g f f + g

f 2f

Propriétés : inégalités, ordre, moyenne

• On a : f > 0 ⇒ Z b

a

f(x) dx > 0 .

• On a : f 6 g ⇒ Z b

a

f (x) dx 6 Z b

a

g(x) dx . Preuve : f 6 g ⇒ g − f > 0 ⇒ R b

a (g(x) − f (x)) dx > 0

⇒ Z b

a

g(x) dx − Z b

a

f (x) dx > 0 ⇒ Z b

a

f (x) dx 6 Z b

a

g(x) dx

• Inégalité de la moyenne (découle des résultats précédents) Si m est le minimum de f sur [a ; b] et M est le maximum de f sur [a ; b], on a m(b − a) 6

Z ^b

a

f (x) dx 6 M (b − a) .

g f

m µ M

f

a b

(b − a)

Définition : La moyenne µ de de f sur l’intervalle [a ; b] est µ = 1 b − a

Z b a

f (x) dx . Dernières remarques :

• L’inégalité de la moyenne donne m 6 µ 6 M .

• Si f 6 g sur [a ; b], l’aire entre les courbes de f et de g sur l’intervalle [a ; b] est donnée par

Z b a

(g(x) − f (x)) dx .

• Si f est impaire sur [ − a ; a], alors Z a

− a

f (x) dx = 0.

• Si f est paire sur [ − a ; a], alors Z a

− a

f (x) dx = 2 Z a

0

f (x) dx.

a b

g f

− a

a − a a