I. Soit f la fonction définie sur R par f ( x) 3 1 e

DEVOIR A LA MAISON N°19. TS2.

Pour le lundi 7 mai 2018.

SUJET A. PREPARER LE BAC.

I. Soit f la fonction définie sur R par f ( x) 3 1 e

^2x

On considère, dans un repère orthogonal (unités : 1 unité 2cm), la courbe représentative C de la fonction f et la droite ∆ d’équation y =3.

Partie A.

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur . 2. Justifier que la droite ∆ est asymptote à la courbe C.

3. Démontrer que l’équation f (x ) 2,999 admet une unique solution sur et déterminer un encadrement de d’amplitude 10

^‐2

Partie B

Soit h la fonction définie sur par h( x) 3−f ( x).

1. Justifier que la fonction h est positive sur .

2. On désigne par H la fonction définie sur par H ( x) 3

2 ln ( ^{1 e}

^2x

) . Démontrer que H est une primitive de h sur .

3. Soit a un réel strictement positif.

a. Donner une interprétation graphique de  

0

a

h( x)dx, en utilisant la courbe C et la droite D.

b. Démontrer que  

0

a

h( x)dx 3

2 ln

 

 

2 1 e ^2a

.

c. On note D l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini par





x 0

y f( x) 3 . Déterminer l’aire, en cm², de D.

SUJET B. PREPARER L ENTREE EN PREPA.

I. Polynômes de Bernoulli.

Définition : On appelle fonction polynôme toute fonction P définie sur pour laquelle il existe un entier naturel n et des nombres réels a0, a1, … , an avec an ≠ 0 tels que, pour tout réel x, P(x) a0 a1x a2x² … anxⁿ.

Le nombre entier naturel n s’appelle le degré de P.

On considère les polynômes B

₀

, B

₁

, …, B

n

définis de la façon suivante : Pour tout réel x, B

0

(x) 1 et pour n 1 :

 

 B

n

nB

n 1

 

0

1

B

n

( t)dt 0.

1. x étant un réel, déterminer B

1

( x), B

2

( x) et B

3

( x).

2. Montrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel non nul n, B

n

(1) B

n

(0).

3. Montrer par récurrence que, pour tout n 1, B

n

est un polynôme de degré n.

4. Calculer, pour x réel, les expressions suivantes :

B

₀

(x 1) B

₀

(x) ; B

₁

(x 1) B

₁

(x ) ; B

₂

(x 1) B

₂

(x ) et B

₃

( x 1) B

₃

(x ). Que peut-on conjecturer ? 5. Montrer par récurrence que, pour tout n de *, B

_n

( x 1) B

_n

(x ) nx

^{n 1}

.

Aide : poser f( x) B

_{p 1}

(x +1) B

_{p 1}

(x )–(p 1)x

^p

. 6. Calculer, à l aide de B

n

, l entier 

k 0 p

k

^{n 1}

, c'est-à-dire l entier 0

^{n 1}

1

^{n 1}

2

^{n 1}

… p

^{n 1}

.

II. Pour tout x 0, on pose f( x)

 

x

2x 1

ln(1 t²)

dt et on note C

f

la représentation graphique de f dans un repère.

1. Justifier que f( x) est définie pour tout x 0.

2. Construire le tableau de variation de f sur ]0 [. On ne demande pas les limites.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°19. TS2

SUJET A. PREPARER LE BAC.

Partie A.

1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 3 2e

^2x

( ^{1 e}

^2x

)

²

6e (−2x )

( ^{1+ e}

^−2x

)

²

>0. La fonction f est donc strictement croissante sur .

2. lim

x

e

^2x

0 donc lim

x

f ( x) 3. Ainsi, la droite ∆ est asymptote à la courbe C.

3. lim

x

e

^2x

donc lim

x

f (x ) 0.

La fonction f est continue et strictement croissante sur , lim

x

f( x) 0, lim

x

f( x) 3 et 2,999]0 3[

donc l équation f( x) 2,999 admet une unique solution sur . f(4) 2,999 et f(4,01) 2,999 donc ]4 4,01[.

Partie B

1. D après la partie A, f est strictement croissante sur et lim

x

f( x) 3. Alors, pour tout réel x, f(x ) 3 et donc 3 f (x ) 0. Ainsi, la fonction h est positive sur .

2. H est dérivable sur . Pour tout réel x, H ( x) 3

2 ( −2e

^−2x

)

1 e

^−2x

3e

^2x

1 e

^2x

. D autre part, pour tout réel x, h (x ) 3 f (x ) 3 3

1 e

^2x

3 3e

^2x

3 1 e

^2x

3 e

^2x

1 e

^2x

H (x ).

H est donc une primitive de h sur . 3. Soit a un réel strictement positif.

a.  

0

a

h (x )dx  

0

a

3dx  

0

a

f(x )dx

 

0

a

3dx est l aire du rect angle déli mit é par l es axes, la droit e et la droit e d équat ion x 3.

f est positive sur donc  

0

a

f( x)dx est l ai re du dom aine délim ité par l es axes , l a courbe C et l a droit e d équat ion x 3.

b. De plus, pour tout x de , 0 f (x) 3 donc C est en dessous de donc

 

0

a

h( x)dx  

0

a

3dx  

0

a

f( x)dx est l ai re du d omain e d éli mité p ar l axe d es

ordonn ées, la d roite d équation x 3, la cou rbe C et la droite . c.  

0

a

h( x)dx

 

  H (x )

0 a

H(a ) H(0) 3

2 ln ( ^{1 e}

^2a

) _ ^

³

_ ^

2

ln(2) 3

2 ( ^{ln(2) ln} ( ^{1 e}

^2a

) ) ³

2 ln

 

 

2 1 e ^2a

. d. L aire de D, en unités d aire, est :

A lim

a

 

0

a

3 f (x )dx lim

a

 

0

a

h (x )dx lim

a

3 2 ln

 

 

2 1 e ^2a

. lim

a

e

^2a

0 donc A 3

2 ln(2) u.a.

Sur les axes, 1 unité 2cm donc 1u .a. 4cm ². Alors L aire d e D est 3

2 ln(2) 4cm ², c'est-à-dire, 6ln(2) cm ².

SUJET B. PREPARER L ENTREE EN PREPA.

I. Polynômes de Bernoulli.

Définition : On appelle fonction polynôme toute fonction P définie sur pour laquelle il existe un entier naturel n et des nombres réels a0, a1, … , a_n avec an ≠ 0 tels que, pour tout réel x, P(x) a0 a1x a2x² … anxⁿ.

Le nombre entier naturel n s’appelle le degré de P.

On considère les polynômes B

0

, B

1

, …, B

n

définis de la façon suivante : Pour tout réel x, B

₀

(x) 1 et pour n 1 :

 

 B

_n

nB

_{n 1}

 

0

1

B

n

( t)dt 0.

1. Soit x un réel. B

0

(x ) 1.

B

1

1 B

0

. En intégrant, on obtient B

1

( x) x k où k est un réel.

 

0

1

B

1

(x )dx 0 donc

 

  x²

2 kx

0 1

0 donc k 1

2 . Ainsi, pour tout réel x, B

1

( x) x 1 2 . B

2

2 B

1

. En intégrant, on obtient : B

2

( x) x² x k avec k un réel.

 

0

1

B

2

(x )dx 0 donc

 

  1

3 x

³

x ²

2 kx

0 1

0 donc k 1 6 Ainsi, pour tout réel x, B

2

( x) x² x 1

6 . De même, pour tout réel x, B

3

(x ) x

³

3

2 x² 1 2 x.

2. Soit n un entier naturel non nul.

 

0

1

B

_{n 1}

(t )dt 0 donc

 

  1

n B

_n

( x)

0 1

0 donc 1

n B

_n

(1) 1

n B

_n

(0) 0 et donc B

_n

(1) B

_n

(0).

3. Initialisation : Pour n 1 : B

₁

(x ) x 1

2 donc B

₁

est un polynôme de degré 1.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 1 tel que B

p

est un polynôme de degré p.

Ainsi,

il existe des nombres réels a0, a1, … , a_p avec ap ≠ 0 tels que, pour tout réel x, B_p(x) a₀ a₁x a₂x² … a_px^p.

Alors, pour tout x de , Bp 1(x) (p 1)

(

^{a0 a1x … apxp}

)

Alors, il existe un réel k tel que, pour tout x de , Bp 1(x) (p 1)

 

 

a0x ¹

2a1x² … ¹

p 1apx^{p 1} k Alors, il existe un réel k tel que, pour tout x de , Bp 1(x) k (p 1)a0x 1

2(p 1)a1x² … apx^{p 1} avec a_p non nul.

Bp 1 est donc une fonction polynôme de degré p 1.

Conclusion :

pour tout n 1, B

n

est un polynôme de degré n.

4. Soit x un réel.

B

₀

(x 1) B

₀

(x) 1 1 0 B

1

(x 1) B

1

(x) (x 1) 1

2  

  x

¹

2

1

B

2

(x 1) B 2( x) (x 1)² (x 1) 1

6 x² x 1

6 2x

B

3

(x 1) B 3( x) (x 1) 3 3

2 ( x 1)² 1

2 ( x 1) x3 3

2 x² 1

2 x 3x ² On peut conjecturer que, pour tout n de , B

_n

(x 1) B

_n

(x ) nx

^{n 1}

.

5. Initialisation : pour n 1 : B

1

(x 1) B

1

(x ) 1 et 1 x

^{1 1}

1 donc la propriété est vraie pour n 0.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 1 tel que B

p

(x 1) B

p

( x) px

^{p 1}

pour tout x de .[*]

Pour tout réel x, posons f (x ) B

p 1

(x +1) B

p 1

(x )–(p 1)x

^p

.

f est dérivable sur et, pour tout réel x, f (x ) (p 1)B

p

(x 1) (p 1)B

p

(x ) p(p 1) x

^{p 1}

( p 1) [ ^B

^p

^{( x 1) B}

^p

^{(x ) px}

^{p 1}

]

0 d après l hypothèse de récurrence [*]

La fonction f est donc constante sur .

De plus, f(0) B

p 1

(2) B

p 1

(0) 0 0 d après la question 2.

Ainsi, pour tout x de , f (x ) 1, c'est-à-dire B

p 1

(x+1) B

p 1

( x) (p 1)x

^p

. Conclusion : pour tout n de *, B

_n

(x 1) B

_n

( x) nx

^{n 1}

.

6. On applique la question précédente : B

n

(1) B

n

(0) n 0

^{n 1}

B

n

(2) B

n

(1) n 1

^{n 1}

B

n

(3) B

n

(2) n 2

^{n 1}

B

n

(4) B

n

(3) n 3

ⁿ⁻¹

…

B

n

(p) B

n

(p 1) n (p 1)

^{n 1}

B

n

( p 1) B

n

( p) np

^{n 1}

En sommant les lignes, on obtient : B

n

( p 1) B

n

(0)

n 0

^{n 1}

1

^{n 1}

2

^{n 1}

… p

^{n 1}

.

Après ces calculs pour conjecturer la réponse, un raisonnement par récurrence se fait sans difficulté pour rédiger de manière plus rigoureuse.

II. Pour tout x 0, on pose f( x)

 

x

2x 1

ln(1 t²)

dt et on note C

f

la représentation graphique de f dans un repère.

1. Soit g la fonction définie par g( t) 1 ln(1 t ²) .

Pour tout t de , 1 t ² 0 et ln(1 t²) 0 ssi t 0. Alors g est définie sur *.

Soit x 0 : la fonction g est donc définie sur [ x 2 x] car 0  [x 2x].

La fonction ln et la fonction t 1 t² sont continues sur leurs ensembles de définition donc, par composition, g est continue sur [x 2x ]. Alors g admet des primitives sur [x 2x] et f(x ) est bien définie.

2. Soit G une primitive de g sur *. Alors f( x) G(2 x) G( x).

G est dérivable sur * et G g donc f est dérivable sur * et, pour tout x de *, f ( x) 2G (2x ) G ( x) 2 g(2 x) g( x) 2

ln(1 4x ²)

1 ln(1 x ²)

2ln(1 x²) ln(1 4x ²) ln(1 4 x²)ln(1 x²) Pour tout x 0, 1 4 x² 0 donc ln(1 4x²) 0. De même, ln(1 x ²) 0.

2ln(1 x ²) ln(1 4x²) 0 ssi ln ( (1 x²)

²

) ln(1 4 x²) ssi (1 x²)

²

1 4 x² ssi 1 2 x² x

⁴

1 4 x²

ssi x²( x ² 2) 0

ssi x 2 0 car x ² et x 2 0 ssi x 2

De même, 2ln(1 x²) ln(1 4 x²) 0 ssi x 2 . On a donc le tableau de signes et de variations :

x 0 2 + ln(1 4x ²)ln(1 x²)

2ln(1 x²) ln(1 4x ²) f (x )

f

f ( ² )