Première S2 Exercices sur le chapitre 8 : E1. 2007 2008
E1 Savoir déterminer des nombres dérivés.
1 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = 2006. Soit a ∈. Déterminons si f est dérivable en a.
Soit h un nombre réel non nul. Alors le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport r ( h ) =
h ) a ( f ) h a (
f + − =
h
2006−2006 = 0. Donc
0 hlim
→ r ( h ) = 0. Donc f est dérivable en a et f ' ( a ) = 0.
2 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = x. Soit a ∈ . Déterminons si f est dérivable en a.
Soit h un nombre réel non nul. Alors le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport r ( h ) =
h ) a ( f ) h a (
f + − =
h a h
a+ − = 1. Donc
0 hlim
→ r ( h ) = 1. Donc f est dérivable en a et f ' ( a ) = 1.
3 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = 3x − 2. Soit a ∈ . Déterminons si f est dérivable en a.
Soit h un nombre réel non nul. Alors le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport r ( h ) =
h ) a ( f ) h a (
f + − =
h 2 a 3 2 ) h a (
3 + − − + = h
a 3 h 3 a
3 + − = 3. Donc
0 hlim
→ r ( h ) = 3.
Donc f est dérivable en a et f ' ( a ) = 3.
4 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = 1
x définie sur *. Soit a ∈ *. Déterminons si f est dérivable en a.
Soit h un nombre réel non nul.
Alors le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport
r ( h ) = h
) a ( f ) h a (
f + − =
h a 1 h a
1 − + =
h ) h a ( a
h a a−+−
= ha(a h) h+
− = ) h a ( a
+1
− . Donc
0 hlim
→ r ( h ) =
² a
−1.
Donc f est dérivable en a et f ' ( a ) =
² a1
− .
5 ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = x définie sur +. Soit a ∈ +*. Déterminons si f est dérivable en a.
Soit h un nombre réel non nul.
Alors le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport r ( h ) =
h ) a ( f ) h a (
f + − = h
a h a+ − =
h a h a+ − ×
a h a
a h a
+ +
+
+ = 1
h ×
a h a
1 +
+ × ( a + h − a ) r ( h ) =
a h a
1 +
+ . Donc hlim0
→ r ( h ) = a 2
1 .
Donc f est dérivable en a et f ' ( a ) = a 2
1 .
