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Dérivabilité
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de , et a ∈ I.
1) Fonction dérivable en a
Si h
a f h a
f( + )− ( )
admet une limite finie l quand h tend vers 0, alors f est dérivable en a,
f ’(a) = l, et
f ’(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf en son point d’abscisse a.
Exemple
f(x) = x2, I = , a = 1.
h h)2 12 1
( + −
= h
h
h 2
2 +
= 2 + h ;
0
lim
h→ 2 + h = 2, donc f est dérivable en 1, f ’(1) = 2 et la tangente à Cf en son point d’abscisse 1 (le point A(1, 1)) a pour coefficient directeur 2.
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2) Fonction non dérivable en a, mais dont la courbe représentative admet une tangente au point d’abscisse a
Si h
a f h a
f( + )− ( )
admet comme limite ±∞ quand h tend vers 0, alors f n’est pas dérivable en a,
Cf admet en son point d’abscisse a une tangente d’équation x = a.
Exemples
1) f(x) = x, I = [0, +∞[, a = 0.
h
h 0
0+ −
= h h =
h 1 ; +
→0
lim
h h
1 = +∞, donc f n’est pas dérivable en 0 mais Cf admet en son point d’abscisse 0 (l’origine du repère) une tangente d’équation x = 0 (l’axe (O, j
r )).
2) f(x) = x x, I = [0, +∞[, a = 0.
h h
h) 0 0 0
0
( + + −
= h h
h = h; +
→0
lim
h
h = 0, donc f est dérivable (à droite) en 0, f ’(0) = 0 Cf admet en son point d’abscisse 0 (l’origine du repère) une tangente d’équation y = 0 (l’axe (O, i
r )).
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3) Fonction non dérivable en a et dont la courbe représentative n’admet pas de tangente au point d’abscisse a
Si h
a f h a
f( + )− ( )
n’admet pas de limite quand h tend vers 0, alors f n’est pas dérivable en a,
Cf n’admet pas de tangente en son point d’abscisse a.
Exemple f(x) = xsin(
x
1) pour x ≠ 0 et f(0) = 0, I = [0, +∞[, a = 0 ;
h
h h) 0
0 sin( 1 ) 0
( −
+ +
= h
h h1) sin(
= sin(
h
1) ; +
→0
lim
h h
1 = +∞, or la fonction sin n’admet pas de
limite en +∞, donc sin(
h
1) n’admet pas de limite quand h → 0, donc f n’est pas dérivable en 0 et Cf n’admet pas de tangente en son point d’abscisse 0 (l’origine du repère).
