1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F

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décembre 2017

Problème 1

1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F

= f et Z

0

F(x) dx = 0 .

b. Montrer qu'il existe une unique suite (B

)

de fonctions telles que : i. B

= 1

ii. ∀n ∈ N, B

= B

iii. ∀n ∈ N

, Z

0

B

(x) dx = 0 .

c. Montrer que pour tout n ≥ 2 , B

(0) = B

(π) . d. Déterminer B

, B

.

2. Pour tout p ∈ N

et tout n ∈ N

, on pose : I

=

Z

0

B

(x) cos(2nx) dx.

a. Calculer I

à l'aide de deux intégrations par parties.

b. Soit p ∈ N. Trouver une relation entre I

et I

. c. En déduire que pour tout p ∈ N :

I

= (−1)

π (2n)

.

3. Montrer que pour tout n ∈ N et tout t ∈ ]0, π[ :

n

X

k=1

cos(2kt) = sin((2n + 1)t) 2 sin(t) − 1

2 .

On pourra montrer que 2 cos((n + 1)t) sin(nt) = sin((2n + 1)t) − sin(t) . 4. Pour tout p ∈ N

, on note f

: [0, π] → R la fonction dénie par :

∀x ∈ [0, π], f

(x) = (

2p(x)−B2p(0)

sin(x)

si x ∈]0, π[

0 si x = 0 ou x = π

Soit n ∈ N

. Exprimer Z

f

(x) sin((2n + 1)x) dx en fonction de n et de B

(0) .

5. Soit f : [0, π] → R une fonction dérivable telle que f

soit continue et bornée. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que :

Z

0

f(x) sin((2n + 1)x) dx −−−−−→

n→+∞

0.

6. On admet que f

est dérivable et que f

est continue et bornée.

a. Montrer que :

n

X

k=1

1 k

!

n∈N^∗

converge vers (−1)

2

B

(0).

b. En déduire la limite de la suite

n

X

k=1

1 k

!

n∈N^∗

.

Problème 2

Pour toute partie

A de N et tout entier n ≥ 1 , on pose S

(A) = Card(A ∩ J 1, n K ) et on appelle densité de Schnirelmann de A le réel

σ(A) = inf{ S

(A)

n , n ≥ 1}

Si A et B sont deux parties de N, on pose

A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}

1. a. Justier la dénition de σ(A) et montrer que σ(A) ≤ 1 . b. Que vaut σ(A) si 1 6∈ A ?

c. Sous quelle condition a-t-on σ(A) = 1 ? d. Si A ⊂ B , comparer σ(A) et σ(B) . 2. Calculer σ(A) pour les parties suivantes :

a. A est une partie nie de N.

1D'après le problème 1 de l'ouvrage "Problèmes choisis de mathématiques supérieure" (Springer).

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r

r

Fig. 1: Les deux tiges

b. A est l'ensemble des entiers impairs.

c. Soit k ≥ 2 entier xé et A l'ensemble des puissances k -ièmes d'entiers.

A = {m

, m ∈ N

}

3. Soit A et B deux parties de N contenant 0 , soit n ≥ 1 un nombre entier. En considérant C = {n − b, b ∈ J 0, n K ∩ B}

montrer que

S

(A) + S

(B) ≥ n ⇒ n ∈ A + B 4. Soit A et B deux parties de N contenant 0 .

a. Montrer que si σ(A) + σ(B) ≥ 1 alors A + B = N.

b. Montrer que si σ(A) ≥

alors tout entier est la somme de deux éléments de A .

Problème 3

On considère le système plan formé par deux tiges rigides (gure 1) de longueur r

et r

. On suppose r

≤ r

avec r

= r

sin Φ pour Φ ∈]0,

] . La première tige tourne autour d'un point xé, la deuxième tourne autour de l'extrémité de la première.

On se propose d'étudier quelques questions liées à ce dispositif. En particulier en consi- dérant une relation

z = z

+ z

avec z = |z|e

, z

= r

e

, z

= r

e

.

1. Les gures 2 et 3 présentent deux congurations possibles. En identiant les points et leurs axes, placer directement sur les dessins les points z

, z , et les angles orientés θ

− θ , θ

− θ , θ

− θ

.

2. On dénit les fonctions f et g dans ]0, +∞[ par les formules :

f (x) = x

+ r

− r

2xr

, g(x) = x

− r

+ r

2xr

a. Former les tableaux de variations de ces fonctions. Préciser les extréma le cas échéant.

b. Préciser :

l'ensemble des x tels que f (x) ∈ [−1, +1]

l'ensemble des f (x) tels que f (x) ∈ [−1, +1]

l'ensemble des x tels que g(x) ∈ [−1, +1]

l'ensemble des g(x) tels que g(x) ∈ [−1, +1]

c. Factoriser f (x) − g(x) . En déduire son signe.

3. On suppose z = z

+ z

avec z = |z|e

, z

= r

e

, z

= r

e

. a. Montrer que

r

− r

≤ |z| ≤ r

+ r

b. Montrer que

cos(θ

− θ) = f (|z|), cos(θ

− θ) = g(|z|) 4. Soit z = |z|e

avec r

− r

≤ |z| ≤ r

+ r

.

a. Montrer qu'il existe un unique couple de réels (θ

, θ

) tels que z = r

e

+ r

e

( θ − θ

∈ [0, Φ]

θ

− θ ∈ [0, π]

Donner des expressions explicites de θ

et θ

en fonction de θ et |z| . b. Un tel choix de (θ

, θ

) conduit-il à une conguration 1 ou 2 ? c. Montrer que 2θ ≤ θ

+ θ

.

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Fig. 2: Conguration 1 Fig. 3: Conguration 2

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