Il existe une unique fonction f dérivable sur    ;  telle que    

Vdouine – Terminale S – Chapitre 3 – Deux nouvelles fonctions : l’exponentielle et le logarithme népérien

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Définition d’une nouvelle fonction

Il existe une unique fonction f dérivable sur  ^{  ;}  telle que    

  ^{0 1}

f x f x f

 

 

  .

Cette fonction est appelée fonction exponentielle.

Pour un h petit la relation d’Euler permet d’écrire que ^{f a}  ^{ h}  ^{ f a}   ^{ hf }   ^a . Pour la fonction exponentielle cette relation devient : ^{f a}  ^{ h}  ^{ f a}   ^{ hf a}   ^{ f a}    ^{  1 h}  . Partant de la donnée ^f   ^{0  1} , on peut, de proche en proche, déterminer les valeurs successives prises par cette fonction et ainsi, pas à pas, tracer une ébauche de la courbe représentative de cette fonction. La précision des valeurs et la précision du tracé dépend de la

« petitesse » de h . Cette méthode s’appelle la méthode d’Euler.

Propriétés algébriques de l’exponentielle

a b a b

e

 e  e

1

e

e





b

e e e



   ^e

^{ e}

Etude de la fonction exponentielle

 L’exponentielle est dérivable et continue.

 L’exponentielle est strictement positive.

 L’exponentielle est strictement croissante.

 lim

0

x

e



 et ^lim

x

e



 

 L’exponentielle réalise une bijection de l’intervalle

 ^{  ;}  sur l’intervalle  ^0;  ^.

 Pour tout nombre réel k  0 , l’équation e

 k admet une unique solution réelle.

Trois limites importantes

Les deux premières traduisent la comparaison des croissances entre l’exponentielle et toute fonction puissance. La troisième correspond au coefficient directeur de la tangente en 0.

lim pour tout

x x n

e n



x    lim

0 pour tout

x

x e n



 

0

lim 1 1

x x

e



x

 

Exponentielle composée Soit u une fonction dérivable.

La fonction composée ^{f x}   ^{ e}

est alors dérivable et sa dérivée est ^{f }   ^{x  u x }   ^{ e}

^.

1 1 e

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La fonction réciproque de l’exponentielle On a établi que la fonction exponentielle réalise une bijection de  ^{  ;}  sur l’intervalle

 ^{0; }  , ce qui signifie que quel que soit le réel strictement positif m , l’équation d’inconnue a ,

e

 m admet une unique solution dans . Définition

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif m l’unique solution de l’équation e

 m .

On note ^ln   ^m cette solution qui se lit logarithme népérien de m.

On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Le logarithme népérien

 D

  0;  

  ^{ln( ) x} 

¹

 x

 ln(1)  0 et ln( ) e  1

 lim ln( )

x _

x



  et ^{lim ln( )}

x

x



 

 ^ln  

lim

0

x

x



x    

0

lim

ln 0

x _

x x



    

0

lim ln 1 1

x

x



x



 

Propriétés fondamentales

a et b sont deux réels strictement positifs. p est un entier naturel. u est une fonction.

ln( a b   ) ln( ) a  ln( ) b ln ¹ ln( ) a

    a

    ln a ln( ) ln( )

a b

   b 

   

 

ln a

  p ln( ) a ^ln   ^{a  1} ₂ ^{ln   a }  ^{ln  u x     }  ^{ u x} _{u x} ^ _{ } ^{ }

1 1 e = 2,718...

m

a

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