FONCTION EXPONENTIELLERecherche d’une fonction f dérivable sur telle que f ’ = f et f ( 0 ) =1ℝ

FONCTION EXPONENTIELLE

Recherche d’une fonction f dérivable sur telle que f ’ = f et f ( 0 ) =1 ℝ

Ne trouvant pas de fonctions connues répondant à ce problème, nous nous proposons, en supposant qu’elle existe, de trouver des propriétés de cette fonction. On notera cette fonction f = exp.

Donc exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1 EXERCICE PRELIMINAIRE

1) Démontrer que la fonction j : x expx×exp– x est constante.

En déduire que f = exp ne s’annule pas sur et que pour tout x réel , ℝ ^{exp– x=}_expx¹ _.

2) unicité de f = exp?

Soit g une autre fonction telle que g' = g et g(0) = 1, posons h= g exp . Montrer que h est constante et en déduire que g = f

3) Démontrer que la fonction k : x expax

expx (où a est un réel fixé ) est constante.

En déduire que pour tous les réels a et x on a exp( x + a ) = expx×expa I ) DEFINITION

Propriété :

S'il existe une fonction f dérivable sur ℝ, telle que pour tout x réel : f ‘(x) = f (x) et f (0) = 1 alors cette fonction ne s'annule pas.

Démo : 1) de l'ex préliminaire Th admis :

Démo : l'existence est admise et pour l'unicité : 2) de l'ex préliminaire

Définition :

L’unique fonction dérivable sur , telle que pour tout x réel : f ‘(x) = f (x) et f (0) = 1 ℝ s’appelle la fonction exponentielle et se note Exp.

Rq : Pour tous les réels x on a Exp ‘(x) = Exp (x) et Exp (0) = 1 II ) PROPRIÉTÉS

Relation fonctionnelle :

Pour tous les réels x et y , Exp (x + y) = Exp (x) . Exp (y) Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ, telle que pour tout x réel : f ‘(x) = f (x) et f (0) = 1.

Propriétés :

Pour tous les réels x et y et n entier relatif on a : Exp (- x) = _expx¹

 Exp (x - y) = expx

expy

Exp(n x) = (Exp (x))ⁿ Exp (x) > 0

Démo : * 1 et 2 déjà montrées dans l’activité préparatoire.

* Exp(x-y) = Exp(x+(-y)) =Exp(x) . Exp(-y) = Exp(x) ¹

expx = expx

expy

* soit g(x) = expxⁿ

expnx ( on peut le faire car a montré dans l’activité préparatoire qu’elle ne s’annule pas) on montre que g’ = 0 donc g constante or g(0) = 1 ...

* d’après la pp précédente Exp(x) =





 

Exercices :

III ) NOUVELLE NOTATION

Pour tout n entier relatif , Exp(n) = Exp( 1.n ) = (Exp(1))ⁿ Définition :

Donc pour tout n entier relatif , Exp(n) = eⁿ et donc par convention on prolonge cette égalité sur .ℝ Rq : - Cette notation a été introduite par Euler en 1728.

- e est un irrationnel et il est transcendant ( il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers et cela a été démontré par Hermite Charles en 1873)

Propriété :

Pour tous les réels x et y et n entier relatif on a : e⁰ = 1 e^x > 0 e^{– x}=1

e^x e^xy=e^x×e^y e^{x – y}=e^x

e^y e^nx=e^xⁿ Exercices :

IV ) ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE 1) Variation et limites

Pour tout x réel on a Exp’(x) = Exp(x) > 0 donc Propriété :

Conséquences : x < y e⇔ ^x < e^y et x = y e⇔ ^x = e^y Exercices :

On appelle e le réel Exp(1) e ≃ 2,71828

Exp est strictement croissante sur ℝ.

Exercice 2 de la feuille : f ’(x) = e^x - 1 or si x 0 alors e ^x 1 donc f ’(x) 0 donc f croissante  donc pour tout x 0 , f (x) f (0) = 0 d’où l’inégalité; 

lim

x∞

x=∞ donc lim_x∞e^x=∞ de plus lim_x–∞e^x= lim_t∞e^{– t} = lim

t∞

1 e^t = 0 Propriété :

lim

x ∞e^x=∞ et lim

x–∞e^x=0

Tableau de variation -- et courbe (faire équations tangentes en 0 et 1)

x –∞ +∞

e^x +

e^x 0 +∞

Propriété : lim

x0

e^x– 1 x =1

Démo : utiliser la dérivabilité de l’expo en 0

ex 3 de la feuille ( pour démontrer la propriété suivante)

Propriété :

lim

x ∞

e^x

x =∞ et lim

x–∞x×e^x=0 Exercices :

2) Dérivée de e^u Th :

Exercices :

Remarque : comme exp est strictement croissante et continue donc d'après le th des valeurs intermédiaires pour tout a > 0 l'équation exp(x) = a admet une et une seule solution que l'on notera ln(a)

Propriété :

Pour a > 0 e^x = a x = ln (a)⇔ e^x < a x < ln (a)⇔ e^x > a x > ln (a)⇔

Exemple : signes et variations de f (x) = e^2x -5 e^x + 6 = ( e^x - 2 ) ( e^x - 3 ) Exercices :

Si u est dérivable sur I alors e^u est dérivable sur I et (e^u)’ = u’.e^u

EXERCICE PRELIMINAIRE :

Recherche d’une fonction f dérivable sur telle que f ’ = f et f ( 0 ) =1 ℝ

Ne trouvant pas de fonctions connues répondant à ce problème, nous nous proposons, en supposant qu’elle existe, de trouver des propriétés de cette fonction.

On notera cette fonction f = exp.

Donc exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1

1) Démontrer que la fonction j : x expx×exp– x est constante.

En déduire que f = exp ne s’annule pas sur et que pour tout x réel , ℝ ^{exp– x=}_expx¹ _.

2) unicité de f = exp?

Soit g une autre fonction telle que g' = g et g(0) = 1, posons h= g exp . Montrer que h est constante et en déduire que g = f

3) Démontrer que la fonction k : x expax

expx (où a est un réel fixé ) est constante.

En déduire que pour tous les réels a et x on a exp( x + a ) = expx×expa EXERCICE 1 :

1) Simplifier les expressions suivantes :

exp2 x – 5×exp– 3 x2 exp– 2 x1⁵

exp– 5 x4³ exp3 xexp– 3 x

2 ×exp3 x– exp– 3 x

2 exp– 3 x5×expx2³

exp– 2 x – 6

2) Résoudre dans les équations et les inéquations suivantes :ℝ

exp(3x+1) =1 exp3 x – 1²– exp5 x=0 expx²1

exp– x2=exp2 x3

exp3 x1 1

expx exp– 5 x2×exp2 x – 3²1

EXERCICE 2 :

a) Etudier les variations de la fonction f définie sur ℝ⁺ par f (x) = e^x - x b) En déduire que pour tout x positif e^x x 

c) En déduire la limite de e^x quand x tend vers ∞ et –∞ .

EXERCICE 3 :

Soit la fonction f définie sur ℝ⁺ par fx=e^x–x² 2 .

1) Calculer f '(x) puis f ''(x) (où f '' est la dérivée de f ' et s'appelle la dérivée seconde de f) 2) Déterminer le signe de f ''(x) et déterminer le sens de variation de f '.

3) En déduire le signe de f ', puis le tableau de variation de f.

4) En déduire que pour tout réel x > 0, on a e

x

xx 2 5) En déduire la limite de e^x

x en +∞ et en utilisant ce résultat montrer que lim_x–∞x×e^x = 0