Colle PC Semaine 7 2011-2012
Réduction des endomorphismes + Révisions analyse de PCSI
EXERCICE 1 :
Soit f ∈ L( R n [X ]) qui à P associe (X − a)P ′ + P − P (a). Donner la matrice de f dans la base (X k ) 06k6n . Chercher Imf , Kerf et les éléments propres de f .
Soit f une fonction continue telle que lim
x →+∞ f (x) = +∞ et lim
x →−∞ f (x) = +∞.
Montrer qu’il existe x 0 appartenant à R tel que : ∀x ∈ R , f (x) > f (x 0 ).
EXERCICE 2 :
Soit E = R n [X] et u ∈ L(E) tel que u(P ) = (X 2 − 1)P ” + (2X + 1)P ′ . 1. Chercher la matrice de u dans la base canonique de R n [X].
2. Montrer que u est diagonalisable.
Soit a et b tels que a 6 b et f : [a; b] 7−→ [a; b] est continue. Montrer qu’il existe x 0 ∈ [a; b] tel que f (x 0 ) = x 0 .
EXERCICE 3 :
On considère la matrice de M n ( C ), A=
0 a . . . a b 0 . .. ...
.. . . .. ... a b . . . b 0
avec a 6= b.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de A est (−1) n
a − b [a(X + b) n − b(X + a) n ].
2. Montrer qu’en général les valeurs propres de A sont sur un cercle.
Soit h : R + 7−→ R + continue telle que lim
x →+∞ h(x) = 0. Prouver que, pour tout a > 0, il existe b tel que b > a en lequel h atteint son maximum sur [a; +∞[.
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Colle PC Semaine 7 2011-2012
Corrections EXERCICE 1 :
lim
x →+∞ f (x) = +∞ ⇔ ∃B > 0 tel que pour tout x > B, f (x) > f (0).
x →−∞ lim f (x) = +∞ ⇔ ∃A < 0 tel que pour tout x 6 A, f (x) > f (0).
f est continue sur R donc sur l’intervalle [A; B]. Or toute fonction continue sur un intervalle fermé borné admet un minimum et atteint ce minimum. Il existe donc x 0 ∈ [A; B] tel que ∀x ∈ [A; B], f (x) > f (x 0 ).
Or 0 ∈ [A; B] donc f (0) > f (x 0 ), ainsi pour tout x de R , f (x) > f (0).
EXERCICE 2 :
M=
0 1 −2 . . . 0
0 2 2 . .. .. .
.. . 0 6 . .. ...
. .. ... ... −n(n − 1)
.. . . .. ... n
0 . . . . . . 0 n(n + 1)
.
Poser g(x) = f (x) − x. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à g sur [a; b].
EXERCICE 3 :
A=
0 a . . . a b 0 . .. ...
.. . . .. ... a b . . . b 0
. ∀M ∈ M n ( C ), det(M + (t)) est une fonction affine de t. En effet, si M = (a ij ) 16i,j6n :
det(M + (t))=
a 11 + t a 12 + t . . . a 1 n + t a 21 + t a 22 + t . . . a 2 n + t
. . . . . . . .. .. . a n 1 + t a n 2 + t . . . a nn + t
L k ← L k − = L 1 , 1 <k6n
a 11 + t a 12 + t . . . a 1 n + t a 21 − a 11 a 22 − a 12 . . . a 2 n − a 1 n
. . . . . . . .. .. . a n 1 − a 11 a n 2 − a 12 . . . a nn − a 1 n
C k ← C k − = C 1 , 1 <k6n
a 11 + t c 12 . . . c 1n
c 21 c 22 . . . c 2n
. . . . . . . .. .. . c n 1 c n 2 . . . c nn
où les c ij , 1 6 i, j 6 n (sauf c 11 ) sont indépendants de t donc det(M + (t)) est une fonction affine de t.
On pose M = A−XI et l’on a : det(M +(t))=
−X + t a + t . . . a + t b + t −X + t . . . a + t
. . . . . . . .. .. . b + t b + t . . . −X + t
= mt+n d’après ce qui précède.
• Pour t = −a, cela donne −ma + n =det(A − XI + (−a)) = (−X − a) n = (−1) n (X + a) n .
• Pour t = −b, cela donne −mb + n =det(A − XI + (−b)) = (−X − b) n = (−1) n (X + b) n . En résolvant le système obtenu, on trouve m = (−1) n
a − b [(X + b) n − (X + a) n ] et p = (−1) n
a − b [a(X + b) n − b(X + a) n ].
P A (X ) =det(A − XI ) = p (faire t = 0 dans la formule précédente).
