INTEGRATION ET PRIMITIVES.
Dans tout le cours, le plan est rapporté à un repère orthogonal(O ; i ,j ).
L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés
| | |i |
et | | |j |
. f est une fonction continue sur un
intervalle I contenant deux réels a et b et (C) est la courbe représentative de f.
|
. f est une fonction continue sur un intervalle I contenant deux réels a et b et (C) est la courbe représentative de f.I. Intégrale d'une fonction continue et
positive
sur un intervalle.Dans tout ce paragraphe, on suppose a b.
1. Aire et intégrale.
(C) étant située au dessus de l’axe des abscisses, on dit souvent (par abus de langage) que D est « le domaine du plan situé sous la courbe (C) ».
Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a b]. On appelle ...
... ... l'aire en unités d aire de la surface D délimitée par la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x a et x b.
Exemples :
I 0 = 10
2 2 dx
(unités graphiques : 0,5 cm en abscisse et en ordonnée). I1 = 3
1 (2t1) dt
(unités graphiques : 2 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée).i j
O I
J K
a b
(C)
Remarques :
a et b sont les bornes de l intégrale.
La variable x est dite muette.
Si a b,
a
af(x)dx ...
2. Une fonction ayant pour dérivée f.
Théorème :Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a b]. Soit la fonction F définie sur [a b] par : F(x)
a
xf(t)dt. Alors F est dérivable sur [a b] et F f. Exemple :
Soit f définie sur [ 1 3] par f(x) 2x 2.
Soit x un réel de [ 1 3].
Soit F(x)
1
xf(t)dt.
Démonstration dans le cas où f est croissante sur [a ; b]: A connaître.
II. Intégrale d une fonction continue de signe quelconque.
1. Intégrale d’une fonction continue et négative sur un intervalle.
Définition : Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle I. On appelle ...
... l'opposé de l'aire du domaine D délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x a et x b. Cette intégrale se note b ( ) d
a f x x
Remarque : Cette intégrale I est appelée l’aire algébrique de D (en u.a.).
2. Cas général.
Définition : : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle ...
la somme des aires algébriques des domaines définis par les intervalles où la fonction f garde un signe constant. Cette intégrale se note b ( ) d
a f x x
III. Primitives d une fonction continue.
1. Définition et existence.
Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I. On appelle ... de f toute fonction F dérivable sur I dont la dérivée F' est égale à f.
i j
O I
J K
a b
(C)
i j
O I
J K
a
b
(C)
Remarque : si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a b]. La fonction F définie sur [a b] par : F(x)
a
xf(t)dt est une primiti ve de f sur [a b] d après le théorème du I.
Théorème : f est une fonction définie sur un intervalle I.
On suppose qu'il existe une primitive F de f sur I. Alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G définies sur I par G(x) = ...
Démonstration :
F est dérivable sur I et F' = f.
Si G est définie sur I par G(x) = F(x) + C, alors G est dérivable sur I (car F l'est) et G' = F' (C est une constante). Donc G est une primitive de f sur I.
Soit G une primitive de f sur I. Alors G est dérivable sur I et G' = f.
G F est dérivable sur I et (G F)' = G' F' = 0 donc G F est constante sur I : pour tout x de I, G(x) F(x) = C, où C est un réel. Ainsi G(x) = F(x) + C, où C est un réel.
Conséquence : Si la fonction f admet une primitive sur I, alors elle en admet ...
Exemple :
Soit f la fonction définie sur par f(x) 3x².
Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Démonstration dans le cas où l intervalle est de la forme [a ; b]: A connaître.
Pré requis : On admet que toute fonction continue sur un intervalle [a b] admet un minimum sur cet intervalle.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a b]. D après le pré-requis, f admet un minimum m sur [a b].
2. Primitives à connaître.
a. Fonctions usuelles.
Fonction f : x ... Une primitive F : x ... Sur l intervalle a (fonction
constante) a ax
x n n 1
n 1 xn 1
1 n
n x
x
n entier,
n 2
1 n 1 1
xn 1 ] ; 0 [
ou ] 0 ; + [ 1
x 2 x ] 0 ; + [
1
x ln(x) ]0 ; + [
ex ex
cos(x) sin(x)
sin(x) cos(x)
b. Primitives et opérations sur les fonctions.
Dans le tableau ci-dessous, u et v sont des fonctions dérivables, à dérivées continues sur l intervalle I.
Fonction Une primitive
u + v U + V où U est une
primitive de u et V une primitive de v
ku avec k ϵ k U où U est une
primitive de u u u n avec n ϵ . 1
n 1 un 1 u
un u u n , n ϵ *, n 1 et, pour tout x de I, u (x) ≠ 0
1 n 1
1 un 1
u
u avec u (x) > 0 x ϵ I 2 u
u
u avec u strictement positive sur I
ln(u)
u eu eu
u sin(u) cos(u)
u cos(u) sin(u)
Exemples :
Trouver toutes les primitives sur I des fonctions suivantes : 1. f(x) x² 3x 1 ; I = .
2. g(x) 5
x2 sin(x) ; I = ]0 ; + [
3. h(x) x
3x² 2 1 ; I =
4. n(x) (x 2)(x² 4x 1)5; I =
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la primitive sur qui vaut 1 en 0 :
1. g(x) e
1 2x
2. h(x) 2x 3
(x² 3x 10)4
3. m(x) 2x
x² 1
IV. Calcul d intégrales.
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I. Alors, pour toute primitive F de f, on a :
a
bf(x)dx F(b) F(a).
Démonstration dans le cas où f est positive sur I.
F est une primitive de f sur I et on a vu que G : x
a
xf(t)dt est une autre primitive de f sur I.
Il existe donc un réel C tel que pour tout x de I, F(x) G(x) C. G(b)
a
bf(x)dx et G(a)
a
af(t)dt 0.
F(b) F(a) G(b) C G(a) C
a
bf(x)dx
Exemples : 1. Calculer
0 1x²dx
2. Calculer
2
5xex2dx
V. Propriétés de l'intégrale (admises)
Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a , b et c de I on a : ( ) d
b
a f x x
...Remarque : Dans le cas où f est positive et a c b ce théorème est évident, par définition de l’intégrale (en terme d’aire ….).
Linéarité de l'intégrale : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soit a et b deux
éléments de I. Pour et réels quelconques on a :
ab
f x( ) g x( ) d
x...Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I.
Si a b et f 0 sur [a b], alors b ( ) d
a f x x
Si a b et f 0 sur [a b], alors b ( ) d
a f x x
Conséquence : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que
a b. Si pour tout réel x de [a b], f(x) g(x), alors
Interprétation graphique pour deux fonctions positives :
Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur [a ; b].
On appelle ... le réel = 1 b ( ) d
a f x x
ba
.Interprétation graphique dans le cas où f est continue et positive sur [a ; b]
La valeur moyenne de f entre a et b est la hauteur du rectangle ABCD dont
j
M
A B
C
D (C)
l’aire est égale à celle du domaine du plan situé délimité par la courbe (C) de f, l’axe (Ox) et les droites d’équations respectives x = a et x = b.
Inégalité de la moyenne : Soit m et M deux réels donnés. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que a b. Si pour tout x de [a; b], m f(x) M, alors
... ( ) d
b
a f x x
...Démonstration :
pour tout x de [a; b], m f(x) M, donc
a
bmdx. ( ) d
b
a f x x
a
bMdx,
c'est à dire m(b a) ( ) d
b
a f x x
M(b a).Interprétation graphique dans le cas où f est continue et positive sur [a ; b] et où m > 0 : L'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations
x a et x b est comprise entre les aires des rectangles ABCD et ABEF.
i j
O b
a M
m
A B
C D
F E
(C)