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| | |i | et | | |j |. f est une fonction continue sur un intervalle I contenant deux réels a et b et (C) est la courbe représentative de f.

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Texte intégral

(1)

INTEGRATION ET PRIMITIVES.

Dans tout le cours, le plan est rapporté à un repère orthogonal(O ; i ,j ).

L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés

| | |

i

|

et

| | |

j

|

. f est une fonction continue sur un intervalle I contenant deux réels a et b et (C) est la courbe représentative de f.

I. Intégrale d'une fonction continue et

positive

sur un intervalle.

Dans tout ce paragraphe, on suppose a  b.

1. Aire et intégrale.

(C) étant située au dessus de l’axe des abscisses, on dit souvent (par abus de langage) que D est « le domaine du plan situé sous la courbe (C) ».

Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a b]. On appelle ...

... ... l'aire en unités d aire de la surface D délimitée par la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x a et x b.

Exemples :

I 0 = 10

2 2 dx

(unités graphiques : 0,5 cm en abscisse et en ordonnée).

I1 = 3

1 (2t1) dt

(unités graphiques : 2 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée).

i j

O I

J K

a b

(C)

(2)

Remarques :

a et b sont les bornes de l intégrale.

La variable x est dite muette.

Si a b, 

a

af(x)dx ...

2. Une fonction ayant pour dérivée f.

Théorème :Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a b]. Soit la fonction F définie sur [a b] par : F(x) 

a

xf(t)dt. Alors F est dérivable sur [a b] et F f. Exemple :

Soit f définie sur [ 1 3] par f(x) 2x 2.

Soit x un réel de [ 1 3].

Soit F(x) 

1

xf(t)dt.

Démonstration dans le cas où f est croissante sur [a ; b]: A connaître.

(3)

II. Intégrale d une fonction continue de signe quelconque.

1. Intégrale d’une fonction continue et négative sur un intervalle.

Définition : Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle I. On appelle ...

... l'opposé de l'aire du domaine D délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x a et x b. Cette intégrale se note b ( ) d

a f x x

Remarque : Cette intégrale I est appelée l’aire algébrique de D (en u.a.).

2. Cas général.

Définition : : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle ...

la somme des aires algébriques des domaines définis par les intervalles où la fonction f garde un signe constant. Cette intégrale se note b ( ) d

a f x x

III. Primitives d une fonction continue.

1. Définition et existence.

Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I. On appelle ... de f toute fonction F dérivable sur I dont la dérivée F' est égale à f.

i j

O I

J K

a b

(C)

i j

O I

J K

a

b

(C)

(4)

Remarque : si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a b]. La fonction F définie sur [a b] par : F(x) 

a

xf(t)dt est une primiti ve de f sur [a b] d après le théorème du I.

Théorème : f est une fonction définie sur un intervalle I.

On suppose qu'il existe une primitive F de f sur I. Alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G définies sur I par G(x) = ...

Démonstration :

F est dérivable sur I et F' = f.

 Si G est définie sur I par G(x) = F(x) + C, alors G est dérivable sur I (car F l'est) et G' = F' (C est une constante). Donc G est une primitive de f sur I.

 Soit G une primitive de f sur I. Alors G est dérivable sur I et G' = f.

G  F est dérivable sur I et (G  F)' = G'  F' = 0 donc G  F est constante sur I : pour tout x de I, G(x)  F(x) = C, où C est un réel. Ainsi G(x) = F(x) + C, où C est un réel.

Conséquence : Si la fonction f admet une primitive sur I, alors elle en admet ...

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f(x) 3x².

Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Démonstration dans le cas où l intervalle est de la forme [a ; b]: A connaître.

Pré requis : On admet que toute fonction continue sur un intervalle [a b] admet un minimum sur cet intervalle.

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a b]. D après le pré-requis, f admet un minimum m sur [a b].

(5)

2. Primitives à connaître.

a. Fonctions usuelles.

Fonction f : x  ... Une primitive F : x  ... Sur l intervalle a (fonction

constante) a  ax

x n n  1

n 1 xn 1

1 n

n x

x

n entier,

n 2

1 n 1 1

xn 1 ]   ; 0 [

ou ] 0 ; +  [ 1

x 2 x ] 0 ; + [

1

x ln(x) ]0 ; + [

ex ex

cos(x) sin(x)

sin(x) cos(x)

b. Primitives et opérations sur les fonctions.

Dans le tableau ci-dessous, u et v sont des fonctions dérivables, à dérivées continues sur l intervalle I.

Fonction Une primitive

u + v U + V où U est une

primitive de u et V une primitive de v

ku avec k ϵ k U où U est une

primitive de u u  u n avec n ϵ . 1

n 1 un 1 u

un u  u  n , n ϵ *, n  1 et, pour tout x de I, u (x) ≠ 0

1 n 1

1 un 1

u

u avec u (x) > 0  x ϵ I 2 u

u

u avec u strictement positive sur I

ln(u)

u eu eu

u sin(u) cos(u)

u cos(u) sin(u)

Exemples :

Trouver toutes les primitives sur I des fonctions suivantes : 1. f(x) x² 3x 1 ; I = .

(6)

2. g(x) 5

x2 sin(x) ; I = ]0 ; + [

3. h(x) x

3x² 2 1 ; I =

4. n(x) (x 2)(x² 4x 1)5; I =

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la primitive sur qui vaut 1 en 0 :

1. g(x) e

1 2x

2. h(x) 2x 3

(x² 3x 10)4

3. m(x) 2x

x² 1

IV. Calcul d intégrales.

Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I. Alors, pour toute primitive F de f, on a : 

a

bf(x)dx F(b) F(a).

Démonstration dans le cas où f est positive sur I.

F est une primitive de f sur I et on a vu que G : x 

a

xf(t)dt est une autre primitive de f sur I.

Il existe donc un réel C tel que pour tout x de I, F(x) G(x) C. G(b)



a

bf(x)dx et G(a)



a

af(t)dt 0.

F(b) F(a) G(b) C G(a) C 

a

bf(x)dx

Exemples : 1. Calculer 

0 1x²dx

(7)

2. Calculer 

2

5xex2dx

V. Propriétés de l'intégrale (admises)

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a , b et c de I on a : ( ) d

b

a f x x

...

Remarque : Dans le cas où f est positive et a  c  b ce théorème est évident, par définition de l’intégrale (en terme d’aire ….).

Linéarité de l'intégrale : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soit a et b deux

éléments de I. Pour  et  réels quelconques on a :

ab

f x( ) g x( ) d

x...

Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I.

Si a  b et f  0 sur [a b], alors b ( ) d

a f x x



Si a  b et f  0 sur [a b], alors b ( ) d

a f x x



Conséquence : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que

a  b. Si pour tout réel x de [a b], f(x)  g(x), alors 

Interprétation graphique pour deux fonctions positives :

Définition : Soit a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur [a ; b].

On appelle ... le réel  = 1 b ( ) d

a f x x

ba

.

Interprétation graphique dans le cas où f est continue et positive sur [a ; b]

La valeur moyenne de f entre a et b est la hauteur du rectangle ABCD dont

j

M

A B

C

D (C)

(8)

l’aire est égale à celle du domaine du plan situé délimité par la courbe (C) de f, l’axe (Ox) et les droites d’équations respectives x = a et x = b.

Inégalité de la moyenne : Soit m et M deux réels donnés. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que a  b. Si pour tout x de [a; b], m  f(x)  M, alors

...  ( ) d

b

a f x x

 ...

Démonstration :

pour tout x de [a; b], m  f(x)  M, donc 

a

bmdx.  ( ) d

b

a f x x



a

bMdx,

c'est à dire m(b  a)  ( ) d

b

a f x x

 M(b  a).

Interprétation graphique dans le cas où f est continue et positive sur [a ; b] et où m > 0 : L'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x a et x b est comprise entre les aires des rectangles ABCD et ABEF.

i j

O b

a M

m

A B

C D

F E

(C)

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