Semaine 7 : Réduction + Révisions analyse PCSI PC

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Soit f : ℝ ℝ continue telle que lim

x∞

fx=∞ _et lim

x–∞

fx=∞

Montrer qu'il existe x₀ appartenant à ℝ tel que :

∀x∈ℝ , fxfx₀_.

Soit a et b deux réels tels que ab et f : [a;b] [a;b] continue. Montrer qu'il existe x₀∈[a;b] _{tel que} fx₀=x₀.

Soit h : ℝ⁺ ℝ+ continue telle que lim

x∞

hx=0 ; prouver que, pour tout a0 , il existe ba en lequel h atteint son maximum sur [a;∞[.

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Semaine 7 : Réduction + Révisions analyse PCSI PC

Indications et réponses : lim

x∞

fx=∞ ⇔ il existe B0 tel que pour tout xB , fxf0. lim

x–∞fx=∞ ⇔ il existe A0 tel que pour tout xA , fxf0.

f est continue sur ℝ donc en particulier sur [A;B] . Or toute fonction continue sur un intervalle fermé borné admet un minimum et atteint ce minimum. Il existe donc x₀∈[A;B] tel que pour tout x de [A;B], fxfx₀_{. Or} 0∈[A;B] donc f0fx₀ et ainsi pour tout x de ℝ, ^{fxfx}0.

Poser gx=fx– x. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur [a;b]. (ga0 et gb0)

Si pour tout xa, hxha, b=a convient.

Supposons le contraire, comme lim

x∞

hx=0, il existe ca tel que : ∀xc , hx1

2fa (par exemple).

h est continue sur [a;c] donc possède un maximum sur cet intervalle atteint en b (qui convient).

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