PC : Semaine 9  Révisions d'analyse

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On considère la fonction f définie sur ]–1 ;∞[ par f x=ln1x

1. Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction f en 0 à l'ordre n. 2. En déduire la limite de

∑

k=1

n –1^k1

k lorsque n tend vers +∞.

Formule de Taylor avec reste intégral:

Formule de Taylor avec reste intégral:

Soient ^I un intervalle de ℝ, ⁿ ∈ ℕ, ^f une fonction(réelle) définie sur ^I de classe C^n1 sur I, ^a et b deux réels de I. On a alors :

f b =

∑

k=0

n b – a^k

k! f ^ka +

∫

a

b b – xⁿ

n! f^n1xdx

Montrer, pour tout n , x ∈ ^ℕ×ℝ :

∣

^ex−

^∑

0 n x^k

k!

∣

^∣^xn1^∣n1e!^∣x∣

On suppose qu'il existe M réel positif tel que : Pour tout t∈[0 ;1],

∣

_e^t_{–1– t}

∣

Mt² 1. Prouver que pour tout n∈ℕ^* :

∣ ^∫

0

1

1x²^1/ndx−

∫

0

1



^11nln1x²



^dx

∣

^fn

où f n=O



ⁿ¹²



2. Calculer a , b∈ℝ² tel que :

∫

0 1

1x²^1/ndx=ab

nO



ⁿ¹²



Étudier la fonction f définie par f x=



^{3 x2x –2} ( notamment les éventuelles asymptotes et la position de la courbe C_f par rapport à elles )

1.

2.

3.

4.

Éléments de correction ex 1

f x=ln1x f^kx=–1^{k –1}k –1!

1x^k .Formule de Taylor avec reste intégral appliquée entre 0 et 1.

ex 2

ex 3

∫

0

1



^11nln1x²



^dx=11n

∫

0 1

ln1x²dx et une IPP pour le calcul de

∫

0 1

ln1x²dx. ex 4

f définie sur ℝ-{0;2}

f 'x= 1

3



^{3x2x –223x}

2–4x

x –∞ 0 4/3 2 +∞

f '(x) + – 0 + +

f(x) –∞

0 0

f(4/3)

0 0

+∞

définie en 0 et en 2 f x

x =



^{1– 2}x



^1/3=1–3²x – 4

9x²o



x¹²



^{d'où f x=x –23– 94xo}

^

^1x

^