Colles PC : Semaine 2

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Soit E=ℝ_n[X]. u est l'endomorphisme de E défini par : ∀ P∈E , uP=PX1– PX. 1. Déterminer Keru et Imu .

2. Déterminer explicitement une base dans laquelle la matrice de u est :



... ... 1

0 ... ... 0



Soit f une forme linéaire sur M_nℂ telle que ∀ A , B∈M_nℂ², fAB=fBA. Montrer qu'il existe un complexe  tel que f=Tr.

Aide : Considérer la base canonique de M_nℂ : E_ij_{1i , jn}

Soient Ma=









sont-elles semblables ?

Soit a₀, a₁, ... , a_n, n1 nombres complexes deux à deux distincts et b₀, b₁, ... , b_n, n1 nombres complexes. Montrer qu'il existe une unique famille de n1 polynômes à coefficients complexes de degré n exactement vérifiant ∀ i , j∈[[0 ;n] ] , L_ia_j=1 , si i=j et 0 sinon.

Montrer que la famille L_i_0in est une base de ℂ_n[X].

Montre qu'il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n vérifiant ∀ i∈[[0;n]], Pa_i=b_i. Expliciter P.

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Indications & réponses

1. Il est relativement aisé de démontrer que Keru = {polynômes constants}. (propriété des polynômes de degré n ayant une infinité de racines)

D'après le théorème du rang, comme dimℝ_n[X]=n1 , dimImu=n. (en effet dimKer u=1 ) D'autre part si P∈ℝ_n[X], uP∈ℝ_n−1[X] (poser P=a_nxⁿa₀ et exprimer uP), ainsi

Imu⊂ℝ_n−1[X]. Or les deux ensembles sont de même dimension donc ils sont égaux.

2. Avec P₀=1 et P₁=X, on a bien uP₀=0 et uP₁=P₀.

Cherchons P₂ avec P₂=aX²bX tel que uP₂=P₁ (constantes inutiles car Keru=ℝ₀[X]) uP₂=P₁ ⇔ a=1

2 et b=– a donc on prend P₂=1

2 XX –1

Recommencer avec P₃=aX³bX²cX tel que uP₃=P₂. On aboutit à P₃=1

6 XX –1X –2. Les formes de P₂ et de P₃ amène à penser à P_k=1

k!

∏

j=0 k−1

X – j. On prouve que uP_k1=P_k et donc la famille de polynômes que l'on trouve est bien de la forme suspectée. Comme {P_k,0kn} est constitué de n1 polynômes de degré échelonnés, cette famille est une base de ℝ_n[X] et dans cette base la matrice de u est de la forme attendue.

A=a_ij_{1i , jn} donc A=

∑

1i , jn

a_ijE_ij et par suite fA=

∑

1i , jn

a_ijfE_ij 1 car f est linéaire.

• fE_ii=fE_ijE_ji=fE_jiE_ij=fE_jj

• fE_ij=fE_iiE_ij=fE_ijE_ii=0

On peut donc écrire plus simplement 1 en posant =fE_ii, fA=

∑

i=1

n a_ii ⇔ fA=

∑

i=1 n a_ii

et donc fA=TrA. Réciproquement si f=Tr, on a bien fAB=fBA.

On pose g l'endomorphisme de ℝ³ de matrice Ma dans la base canonique de ℝ³ .

Ma et Na sont semblables si et seulement si il existe une base e₁, e₂, e₃ de ℝ³ telle que fe₁=1– ae₁ ; fe₂=e₁1–ae₂ et fe₃=2– ae₃.

Soit X=x , y, z un élément de ℝ³.

• gX=1–aX ⇔ MaX=1– aX ⇔

{

{

• gX=1–aXe₁ ⇔ MaX=1– aXe₁ ⇔

{

{

• ^{gX=2– aX} ⇔ MaX=2– aX ⇔

{

{

On vérifie que e₁, e₂, e₃ est bien une base de ℝ³. Ma=Matbase.canoniquef et Na=Mat_e

1,e_2,e₃f 2010©My Maths Space Page 2/3 1

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∏

j≠i

X –a_j qui est de degré n (les a_j étant tous distincts deux à deux). Comme L_i doit être de degré n, on a : L_i=

∏

j≠i

X – a_j De plus L_ia_i=1 donne = 1

∏

a_i– a_j

et donc L_i=

∏

j≠i

X – a_j a_i−a_j .

L_i_0in est une famille libre : ₀L₀ + ... + _nL_n = 0 implique que

∑

j=0 n

_jL_ja_i=0 pour un i donné de [[0;n] ] donne _i=0 en vertu de la définition des L_i.

Un dernier argument de dimension donne que L_i_0in est une base de ℂ_n[X]. N'importe quel polynôme de degré inférieur ou égal à n peut s'écrire dans cette base :

P=

∑

j=0 n

_jL_j et en prenant la valeur en a_i, on obtient _i=Pa_i. Il s'en suit l'écriture de P : P=Pa₀L₀Pa_nL_n.

Comme il est souhaité que Pa_i=b_i ∀ i∈[[0 ;n]], on a P=b₀L₀b_nL_n.

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