est une base de ℝ et exprimer la matrice de f dans cette base

Exercices de transition du chapitre 1 au chapitre 2 – Corrigé

Exercice 1 : On note ℬ = , , la base canonique de ℝ.

Soit f un endomorphisme de ℝ de matrice canoniquement associée = 5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3 . 1) Calculer + , + et + .

+ = 1,1,0 et 5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3

11

0 = 6

60 = 6 1

10 donc + = 6+

+ = 1,0,1 et 5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3

10

1 = 4

04 = 4 1

01 donc + = 4+

+ = 0,1,1 et 5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3

01

1 = 0

22 = 2 0

11 donc + = 2+

2) Montrer que + , + , + est une base de ℝ et exprimer la matrice de f dans cette base.

+ + !+ + "+ = 0 ⇔ 1,1,0 + !1,0,1 + "0,1,1 = 0

⇔ + !, + ", ! + " = 0 ⇔ $ + ! = 0 + " = 0

! + " = 0 ⇔ $ ! = −

" = −

−2 = 0⇔ $! = 0

" = 0 = 0

Donc la famille + = + , + , + est libre. De plus, elle est constituée de 3333 vecteurs et ℝ est de dimension 3333 donc cette famille est une base de ℝ.

+ =4+ +5+ +5+ + = 5 + + 6 + +5+ + =5+ ₇ +5+ +8+ = 9 :_; = 4 5 5

5 6 5 5 5 8

3) Exprimer la matrice < de passage de la base canonique à la base + , + , + .

< = 1 1 0 1 0 1 0 1 1

4) Donner une relation entre et .

C’est la formule de changement de base : = <<⁼ ou encore = <⁼<

5) La matrice est-elle inversible ? Si oui, quelle est son inverse ?

est une matrice diagonale inversible (les coef de la diagonale sont non nuls) et = <<⁼, produit de matrices inversibles donc A est, elle aussi, inversible.

⁼ = <<^{= =} = <^{= ==}<⁼ = <⁼<⁼= <

⎝

⎜⎜

⎛

16 0 0 0 1

4 0 0 0 1

2⎠

⎟⎟

⎞<⁼= ⋯

Exercice 2 : E désigne l’espace des fonctions polynômes à coefficients réels, dont le degré est inférieur ou égal à l’entier naturel 2.

On considère l’application qui, à tout élément P de E, associe la fonction polynôme Q telle que : Pour tout E réel, FE = E − 1 <^GE + <E et ℬ = <₇, <, < la base canonique de E définie par : pour tout réel E : <₇E = 1; <E = E et <E = E.

1) Montrer que est un endomorphisme de I.

Soient < et K ∈ ℝMNO et P ∈ ℝ ∶ ∀E ∈ ℝ, SP< + K TE = E − 1 P< + K ′E + P< + K E

= E − 1 SP<^GE + K^GE T + P<E + KE

= PSE − 1 <^GE + <E T + SE − 1 K^GE + KE T = P< E + K E Ainsi P< + K = P< + K

L’application est donc une application linéaire.

Il reste à montrer que l’image d’un polynôme de ℝMNO reste un polynôme de ℝMNO. Soit <E = E + !E + " ∈ ℝMNO

∀E ∈ ℝ, S< TE = E − 1 <^GE + <E = E − 1 2 E + ! + E + !E + "

= 2 E + !E − 2 E − ! + E + !E + " = 3 E + 2! − 2 E + " − ! ∈ ℝMNO est donc bien un endomorphisme de ℝMNO.

2) Vérifier que la matrice A de dans ℬ , s’écrit sous la forme : = 1 −1 0 0 2 −2 0 0 3 .

∀E ∈ ℝ, <₇E = 1 donc <₇ E = 1 = V<₇E +5<E + 5<E

∀E ∈ ℝ, <E = E donc < E = E − 1 + E = −1 + 2E =−V<₇E +8<E +5<E

∀E ∈ ℝ, <E = E donc < E = E − 1 × 2E + E = 3E − 2E

=5<₇E − 8<E +X<E Ainsi, = 9 :_Y = V −V 5

5 8 −8

5 5 X

3) Déterminer Ker(). est-il un automorphisme de E ? Pouvions-nous l’affirmer avant ?

<E ∈ Z[ ⇔ S<E T = 0 ⇔ 3 E + 2! − 2 E + " − ! = 0 ⇔ $ 3 = 0 2! − 2 = 0

" − ! = 0

⇔ $ = 0

! = 0

" = 0⇔ <E = 0

Ker() est donc réduit au vecteur nul, est donc un endomorphisme injectif (en dimension finie) donc bijectif : ainsi est un automorphisme de E.

La matrice obtenue à la question précédente est inversible (triangulaire à coef diagonaux non nuls) donc on pouvait affirmer dès cet instant que était bijective…

4) Déterminer trois polynômes K₇, K et K tels que K₇ = K₇, K = 2K et K = 3K.

<₇ = <₇ donc K₇ = <₇

On cherche KE = E+ !E + " tel que K = 2K

⇔ 3 E+ 2! − 2 E + " − ! = 2 E + 2!E + 2" ⇔ E− 2 E − " − ! = 0

⇔$ = 0

−2 = 0

−" − ! = 0⇔$ = 0

" = −!

! ∈ ℝ ⇔ KE = !E − ! = !E − 1 On prend par exemple KE = E − 1

On cherche KE = E + !E + " tel que K = 3K

⇔ 3 E+ 2! − 2 E + " − ! = 3 E + 3!E + 3" ⇔ −! − 2 E − 2" − ! = 0

⇔$−! − 2 = 0

−2" − ! = 0

0 = 0 ⇔$! = −2

" =

∈ ℝ ⇔ KE = E− 2 E + = E− 2E + 1 On prend par exemple KE = E− 2E + 1 = E − 1

5) Montrer que la famille + = K₇, K, K est une base de I.

Les trois polynômes de cette famille sont de degrés deux à deux distincts donc ils forment une famille libre. De plus, elle est constituée de 3333 vecteurs et ℝMNO est de dimension 3333 donc cette famille est une base de ℝMNO.

6) Exprimer la matrice de dans cette base.

K₇ = K₇ = VK₇+5K+ 5K K = 2K =5K₇+8K+5K K = 3K = 5K₇+ 5K+XK Ainsi, = 9 :_; = V 5 5 5 8 5 5 5 X 7) Quelle relation existe-t-il entre et ?

C’est la formule de changement de base : = <<⁼ ou encore = <⁼<

Exercice 3 :

Soit l’endomorphisme de ℝ de matrice dans la base canonique : = 5 −8 −4

8 −15 −8

−10 20 11. On pose : ab⃗ = 2,4, −5 , d⃗ = 1,0,1 et ebb⃗ = 0,1, −2 .

1) Calculer ab⃗ .

5 −8 −4

8 −15 −8

−10 20 11

24

−5 = −2

−45 = − 2

−54 donc ab⃗ = −ab⃗.

2) Montrer que d⃗ et ebb⃗ appartiennent à Ker − gh .

5 −8 −4

8 −15 −8

−10 20 11

10

1 = 1

01 donc d⃗ = d⃗ ⇔ d⃗ − d⃗ = 0 ⇔ d⃗ ∈ Ker − gh .

5 −8 −4

8 −15 −8

−10 20 11

01

−2 = 0

−21 donc ebb⃗ = ebb⃗ ⇔ ebb⃗ − ebb⃗ = 0 ⇔ ebb⃗ ∈ Ker − gh . 3) Montrer que ab⃗, d⃗, ebb⃗ est une base de ℝ et exprimer la matrice ′ de dans cette base.

ab⃗ + !d⃗ + "ebb⃗ = 0,0,0 ⇔ 2,4, −5 + !1,0,1 + c0,1, −2 = 0,0,0

⇔ 2 + !, 4 + ", −5 + ! − 2" = 0,0,0 ⇔ $ 2 + ! = 0 4 + " = 0

−5 + ! − 2" = 0 ⇔ $! = −2

" = −4

= 0 ⇔ $! = 0

" = 0 = 0Donc la famille + = ab⃗, d⃗, ebb⃗ est libre. De plus, elle est constituée de 3333 vecteurs et ℝ est de dimension 3333 donc cette famille est une base de ℝ.

ab⃗ = −ab⃗ =−Vab⃗ +5d⃗ + 5ebb⃗

d⃗ = d⃗ =5ab⃗ +Vd⃗ +5ebb⃗

ebb⃗ = ebb⃗ =5ab⃗ +5d⃗ +Vebb⃗

Ainsi, ^G= 9 :_; = −V 5 5 5 V 5 5 5 V

4) Exprimer la matrice < de passage de la base canonique à la base ab⃗, d⃗, ebb⃗ .

< = 2 1 0 4 0 1

−5 1 −2

5) Donner une relation entre et ′.

C’est la formule de changement de base : = <^G<⁼ ou encore ^G= <⁼<

6) Calculer ^G et en déduire . ^G = −1 0 0

0 1 0 0 0 1

−1 0 0 0 1 0

0 0 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = g On en déduit que est l’application identité.

On peut aussi ajouter que est bijective et que sa bijection réciproque est elle-même.