Soient a, b, c, d ∈ C deux à deux distincts

Problème : Birapports et un théorème de Miquel Des points deCsont dits cocycliques s’ils sont sur un même cercle.

Pour tousa, b, c, d∈Cdeux à deux distincts, on appelle birapport dea,b,cetd, le nombre complexe [a, b, c, d] = (c−a)(d−b)

(d−a)(c−b).

On étudie dans ce problème, une caractérisation de la cocyclicité par le birapport ainsi qu’une appli- cation à un certain théorème de Miquel.

1. Soient a, b, c, d ∈ C deux à deux distincts. On suppose que les points a, b et c sont alignés.

Montrer que les pointsa,b,c etdsont alignés si, et seulement si, [a, b, c, d]∈R. 2. Soienta, b, c, a⁰, b⁰, c⁰ ∈Ctels queab⁰−ba⁰6= 0.

Montrer que le système linéaire

ax + by = c

a⁰x + b⁰y = c⁰

d’inconnue (x, y)∈C² possède une unique solution que l’on explicitera.

3. Soienta, b, c∈C tels que les pointsa, b etcne soient pas alignés.

(a) Soit ω ∈ C. Écrire l’assertion «ω est équidistant de a, b et c» sous forme d’un système linéaire de deux équations d’inconnuesω etω.

(b) En déduire que les pointsa,b etcsont cocycliques.

4. Soientα,β,γ ∈Retz∈Ctels quee^iα,e^iβ,e^iγ etzsoient deux à deux distincts.

(a) Montrer que

Im([e^iα, e^iβ, e^iγ, z]) =

sin ^γ−α₂ sin

α−β

2

sin

γ−β

2

× |z|²−1

|z−e^iα|². (b) En déduire que [e^iα, e^iβ, e^iγ, z]∈R si, et seulement si,z∈U.

5. Montrer que pour touta,b,c,d∈Cdeux à deux distincts,λ∈C^? etµ∈C, [λa+µ, λb+µ, λc+µ, λd+µ] = [a, b, c, d].

6. Soienta,b,c,d∈Cdeux à deux distincts tels que a,betc ne soient pas alignés.

Montrer quea,b,cetdsont cocycliques si, et seulement si, [a, b, c, d]∈R. Á l’issue des questions précédentes, vous avez donc prouvé le théorème suivant :

Soienta,b,c etd∈C deux à deux distincts.

a,b,c etdsont alignés ou cocycliques si, et seulement si,[a, b, c, d]∈R.

Théorème 1 :Caractérisation de la cocyclicité à l’aide du birapport

7. Soienta,b,c,d,a⁰,b⁰,c⁰ etd⁰ ∈Cdeux à deux distincts.

Simplifier

[a, c, b, d]×[c⁰, a⁰, d⁰, b⁰]×[a⁰, b, a, b⁰]×[b, c⁰, c, b⁰]×[c, d⁰, c⁰, d]×[d⁰, a, a⁰, d].

Cette formule s’appelle la formule des 6 birapports.

8. Déduire de ce qui précède le théorème de Miquel suivant : 1

SoientC_ab,C_bc,C_cd etC_da quatre cercles. On suppose queC_ab etC_da se coupent en aeta⁰, que C_ab etC_bcse coupent en betb⁰, queC_bc etC_cd se coupent encetc⁰ et queC_cd etC_da se coupent endet en d⁰.

On suppose également que les huit pointsa,b,c,d,a⁰,b⁰,c⁰ etd⁰ sont deux à deux distincts.

Sous ces conditions,a,b,cetdsont alignés ou cocycliques si, et seulement si, a⁰,b⁰,c⁰ etd⁰ le sont.

Théorème 2 :Théorème de Miquel

* * * FIN DU SUJET * * *

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