Si a et b sont deux points distincts de Π , il existe une unique droite les contenant.

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On appelle plan projectif ni un ensemble ni Π (de cardinal p ) muni d'une partie ∆ de P (Π) vériant un certain nombre de propriétés. Les éléments de Π sont appelés des points, les éléments de ∆ sont appelés des droites. Les droites sont des ensembles de points.

Les conditions imposées sont les suivantes.

Si a et b sont deux points distincts de Π , il existe une unique droite les contenant.

Cette droite sera notée D(a, b) .

L'intersection de deux droites distinctes est toujours un singleton.

Il existe quatre points distincts a 1 , a 2 , a 3 , a 4 tels qu'aucune droite ne contienne trois de ces points.

Fig. 1: Une représentation d'un plan projectif ni

1. Combien de parties à deux éléments peut-on former dans un ensemble à 4 éléments ? En déduire qu'il existe au moins 6 droites distinctes.

2. Montrer que Π n'est pas l'union de deux droites.

3. Soit δ et δ ⁰ deux droites distinctes et O un point n'appartenant à aucune des deux. On dénit une application

f :

( δ → δ ⁰

a 7→ l'unique point de D(O, a) ∩ δ ⁰

Montrer que cette application est bijective. On en déduit que toutes les droites ont le même nombre d'éléments noté d .

4. Soit O un point du plan et n _O le nombre de droites passant par O . En classant les points de Π \ {O} suivant la droite passant par O à laquelle ils appartiennent, former une relation entre divers nombres d'éléments. Que peut-on en déduire pour les n _O lorsque O varie dans le plan ?

5. Montrer que le nombre de droites passant par un point est égal au nombre de points sur une droite.

6. Montrer qu'il existe un entier n tel que

Le nombre de points sur une droite est égal au nombre de droites passant par un point et que ce nombre est n + 1 .

Le nombre de points est égal au nombre de droites et que ce nombre est n ² + n + 1 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Anbppf

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. À partir des quatre points introduits par le troisième axiome, on peut former ⁴ ₂

= 6 paires de points qui dénissent 6 droites D(a, b) avec a et b dans {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } . Ces droites sont-elles distinctes ?

Si deux de ces droites sont égales entre elles (nommons δ cette droite) celle ci contien- dra l'union de deux paires. Comme l'union de deux paires distinctes est un ensemble d'au moins 3 éléments, la droite δ contiendra 3 des points a i en contradiction avec le troisième axiome.

2. Supposons que le plan soit l'union de deux droites δ et δ ⁰ . D'après le troisième axiome, les points a i se répartissent deux par deux sur les droites. Disons a 1 , a 2 dans δ et a 3 , a 4 dans δ ⁰ .

Considérons la droite D(a 1 , a 3 ) . Peut-elle contenir un point autre que a 1 et a 3 ? Soit m un tel point. Si m ∈ δ alors m ∈ δ ∩ D(a 1 , a 3 ) . Mais δ ∩ D(a 1 , a 3 ) contient déjà a 1 et le deuxième axiome montre alors que m = a 1 . On montre de même que m ∈ δ ⁰ entraine m = a 3 . La droite D(a 1 , a 3 ) se réduit donc à la paire {a 1 , a 3 } . On peut raisonner de même pour D(a ₂ , a ₄ ) et :

D(a 1 , a 3 ) = {a 1 , a 3 } D(a ₂ , a ₄ ) = {a 2 , a ₄ } )

⇒ D(a ₁ , a ₃ ) ∩ D(a ₂ , a ₄ ) = ∅

en contradiction avec le deuxième axiome. Il est donc impossible que Π soit l'union de deux droites.

3. Remarquons d'abord que deux droites étant données, l'existence d'un point O n'ap- partenant à aucune est assurée par le résultat de la question 2.

Deux droites distinctes δ et δ ⁰ étant xées, f est l'application de δ dans δ ⁰ qui, à un point m ∈ δ , associe l'unique point d'intersection de D(O, m) avec δ ⁰ .

Dénissons symétriquement une application f ⁰ de δ ⁰ dans δ qui, à un point m ⁰ ∈ δ , associe l'unique point d'intersection de D(O, m ⁰ ) avec δ .

Considérons f ⁰ ◦ f . C'est une application de δ dans lui même. Soit m quelconque dans δ et m ⁰ = f (m) . Par dénition, m ⁰ ∈ D(0, m) donc D(0, m) est une droite qui contient O et m ⁰ . C'est donc la droite (deuxième axiome) passant par m ⁰ et O d'où D(O, m) = D(O, m ⁰ ) . On en déduit que m ∈ D(O, m ⁰ ) ∩ δ donc f ⁰ (m ⁰ ) = m . Ceci étant valable pour tous les m ∈ δ , on a prouvé f ⁰ ◦ f = Id δ . Les deux droites jouant des rôles symétriques, f ◦ f ⁰ = Id δ

⁰

donc f et f ⁰ sont bijectives et réciproques l'une de l'autre. Ceci montre que toutes les droites ont le même nombre d'éléments. On le note d .

4. Notons ∆ O l'ensemble des droites passant par O . Convenons d'appeler droite épointée une droite passant par O de laquelle O a été enlevé et notons ∆ ⁰ _O l'ensemble des

droites épointées. D'après le deuxième axiome, l'intersection de deux droites de ∆ O

est le singleton {O} , deux droites épointées distinctes sont donc disjointes. De plus, par un point m quelconque autre que O passe la droite épointée D(O, m) \ {O} . On en déduit que les droites épointées forment une partition du plan privé de O , comme de plus elles ont toutes le même nombre d'éléments d − 1 , on obtient

p − 1 = n _O × (d − 1)

Ceci montre que tous les n O sont égaux entre eux lorsque O varie dans le plan.

5. Fixons un point O et une droite δ ₀ qui ne passe pas par O . Notons ϕ l'application de δ 0 dans ∆ O qui à un point m de δ 0 associe D(O, m) . Notons ψ l'application de ∆ O

dans δ 0 qui à une droite δ de ∆ O associe l'unique point d'intersection de δ avec δ 0 . On vérie facilement que ϕ ◦ ψ = Id ∆

_O

et que ψ ◦ ϕ = Id δ

₀

. On en déduit que les deux applications sont bijectives et bijections réciproques l'une de l'autre. Les deux ensembles ont donc le même nombre d'éléments.

n O = d 6. Notons n = d − 1 .

Par dénition de d et d'après la question 5., le nombre de points sur une droite est égal au nombre de droites passant par un point et ce nombre est n + 1 .

D'après la question 4., p − 1 = (n + 1)n donc le nombre de points dans le plan est n ² + n + 1 .

Soit δ = {m 1 , · · · , m d } une droite. Pour tout point m ∈ δ , notons ∆ ⁰ _m l'ensemble (privé de δ ) des droites passant par m . Comme toutes les droites (sauf δ elle même) coupent δ en un seul point, les parties ∆ ⁰ _m

₁

, · · · ∆ ⁰ _m

_d

forment une partition de l'ensemble de toutes les droites (privé de δ ). On en déduit

nombre de droites − 1 = d × (d − 1)

Le nombre total de droites est donc lui aussi 1 + (n + 1)n = n ² + n + 1 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Anbppf

Si a et b sont deux points distincts de Π , il existe une unique droite les contenant.

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On appelle plan projectif ni un ensemble ni Π (de cardinal p ) muni d'une partie ∆ de P (Π) vériant un certain nombre de propriétés. Les éléments de Π sont appelés des points, les éléments de ∆ sont appelés des droites. Les droites sont des ensembles de points.

Les conditions imposées sont les suivantes.

Si a et b sont deux points distincts de Π , il existe une unique droite les contenant.

Cette droite sera notée D(a, b) .

L'intersection de deux droites distinctes est toujours un singleton.

Il existe quatre points distincts a 1 , a 2 , a 3 , a 4 tels qu'aucune droite ne contienne trois de ces points.

Fig. 1: Une représentation d'un plan projectif ni

1. Combien de parties à deux éléments peut-on former dans un ensemble à 4 éléments ? En déduire qu'il existe au moins 6 droites distinctes.

2. Montrer que Π n'est pas l'union de deux droites.

3. Soit δ et δ 0 deux droites distinctes et O un point n'appartenant à aucune des deux. On dénit une application

f :

( δ → δ 0

a 7→ l'unique point de D(O, a) ∩ δ 0

Montrer que cette application est bijective. On en déduit que toutes les droites ont le même nombre d'éléments noté d .

4. Soit O un point du plan et n O le nombre de droites passant par O . En classant les points de Π \ {O} suivant la droite passant par O à laquelle ils appartiennent, former une relation entre divers nombres d'éléments. Que peut-on en déduire pour les n O lorsque O varie dans le plan ?

5. Montrer que le nombre de droites passant par un point est égal au nombre de points sur une droite.

6. Montrer qu'il existe un entier n tel que

Le nombre de points sur une droite est égal au nombre de droites passant par un point et que ce nombre est n + 1 .

Le nombre de points est égal au nombre de droites et que ce nombre est n 2 + n + 1 .

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Corrigé

1. À partir des quatre points introduits par le troisième axiome, on peut former 4 2

= 6 paires de points qui dénissent 6 droites D(a, b) avec a et b dans {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } . Ces droites sont-elles distinctes ?

Si deux de ces droites sont égales entre elles (nommons δ cette droite) celle ci contien- dra l'union de deux paires. Comme l'union de deux paires distinctes est un ensemble d'au moins 3 éléments, la droite δ contiendra 3 des points a i en contradiction avec le troisième axiome.

2. Supposons que le plan soit l'union de deux droites δ et δ 0 . D'après le troisième axiome, les points a i se répartissent deux par deux sur les droites. Disons a 1 , a 2 dans δ et a 3 , a 4 dans δ 0 .

D(a 1 , a 3 ) = {a 1 , a 3 } D(a 2 , a 4 ) = {a 2 , a 4 } )

⇒ D(a 1 , a 3 ) ∩ D(a 2 , a 4 ) = ∅

en contradiction avec le deuxième axiome. Il est donc impossible que Π soit l'union de deux droites.

3. Remarquons d'abord que deux droites étant données, l'existence d'un point O n'ap- partenant à aucune est assurée par le résultat de la question 2.

Deux droites distinctes δ et δ 0 étant xées, f est l'application de δ dans δ 0 qui, à un point m ∈ δ , associe l'unique point d'intersection de D(O, m) avec δ 0 .

Dénissons symétriquement une application f 0 de δ 0 dans δ qui, à un point m 0 ∈ δ , associe l'unique point d'intersection de D(O, m 0 ) avec δ .

donc f et f 0 sont bijectives et réciproques l'une de l'autre. Ceci montre que toutes les droites ont le même nombre d'éléments. On le note d .

4. Notons ∆ O l'ensemble des droites passant par O . Convenons d'appeler droite épointée une droite passant par O de laquelle O a été enlevé et notons ∆ 0 O l'ensemble des

droites épointées. D'après le deuxième axiome, l'intersection de deux droites de ∆ O

p − 1 = n O × (d − 1)

Ceci montre que tous les n O sont égaux entre eux lorsque O varie dans le plan.

5. Fixons un point O et une droite δ 0 qui ne passe pas par O . Notons ϕ l'application de δ 0 dans ∆ O qui à un point m de δ 0 associe D(O, m) . Notons ψ l'application de ∆ O

dans δ 0 qui à une droite δ de ∆ O associe l'unique point d'intersection de δ avec δ 0 . On vérie facilement que ϕ ◦ ψ = Id ∆

et que ψ ◦ ϕ = Id δ

. On en déduit que les deux applications sont bijectives et bijections réciproques l'une de l'autre. Les deux ensembles ont donc le même nombre d'éléments.

n O = d 6. Notons n = d − 1 .

Par dénition de d et d'après la question 5., le nombre de points sur une droite est égal au nombre de droites passant par un point et ce nombre est n + 1 .

D'après la question 4., p − 1 = (n + 1)n donc le nombre de points dans le plan est n 2 + n + 1 .

Soit δ = {m 1 , · · · , m d } une droite. Pour tout point m ∈ δ , notons ∆ 0 m l'ensemble (privé de δ ) des droites passant par m . Comme toutes les droites (sauf δ elle même) coupent δ en un seul point, les parties ∆ 0 m

, · · · ∆ 0 m

forment une partition de l'ensemble de toutes les droites (privé de δ ). On en déduit

nombre de droites − 1 = d × (d − 1)

Le nombre total de droites est donc lui aussi 1 + (n + 1)n = n 2 + n + 1 .

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3. Soit δ et δ ⁰ deux droites distinctes et O un point n'appartenant à aucune des deux. On dénit une application

( δ → δ ⁰

a 7→ l'unique point de D(O, a) ∩ δ ⁰

4. Soit O un point du plan et n _O le nombre de droites passant par O . En classant les points de Π \ {O} suivant la droite passant par O à laquelle ils appartiennent, former une relation entre divers nombres d'éléments. Que peut-on en déduire pour les n _O lorsque O varie dans le plan ?

Le nombre de points est égal au nombre de droites et que ce nombre est n ² + n + 1 .

1. À partir des quatre points introduits par le troisième axiome, on peut former ⁴ ₂

2. Supposons que le plan soit l'union de deux droites δ et δ ⁰ . D'après le troisième axiome, les points a i se répartissent deux par deux sur les droites. Disons a 1 , a 2 dans δ et a 3 , a 4 dans δ ⁰ .

D(a 1 , a 3 ) = {a 1 , a 3 } D(a ₂ , a ₄ ) = {a 2 , a ₄ } )

⇒ D(a ₁ , a ₃ ) ∩ D(a ₂ , a ₄ ) = ∅

Deux droites distinctes δ et δ ⁰ étant xées, f est l'application de δ dans δ ⁰ qui, à un point m ∈ δ , associe l'unique point d'intersection de D(O, m) avec δ ⁰ .

Dénissons symétriquement une application f ⁰ de δ ⁰ dans δ qui, à un point m ⁰ ∈ δ , associe l'unique point d'intersection de D(O, m ⁰ ) avec δ .

donc f et f ⁰ sont bijectives et réciproques l'une de l'autre. Ceci montre que toutes les droites ont le même nombre d'éléments. On le note d .

4. Notons ∆ O l'ensemble des droites passant par O . Convenons d'appeler droite épointée une droite passant par O de laquelle O a été enlevé et notons ∆ ⁰ _O l'ensemble des

p − 1 = n _O × (d − 1)

5. Fixons un point O et une droite δ ₀ qui ne passe pas par O . Notons ϕ l'application de δ 0 dans ∆ O qui à un point m de δ 0 associe D(O, m) . Notons ψ l'application de ∆ O

D'après la question 4., p − 1 = (n + 1)n donc le nombre de points dans le plan est n ² + n + 1 .

Soit δ = {m 1 , · · · , m d } une droite. Pour tout point m ∈ δ , notons ∆ ⁰ _m l'ensemble (privé de δ ) des droites passant par m . Comme toutes les droites (sauf δ elle même) coupent δ en un seul point, les parties ∆ ⁰ _m

, · · · ∆ ⁰ _m

Le nombre total de droites est donc lui aussi 1 + (n + 1)n = n ² + n + 1 .