355. Deux paires de droites
Deux droites mobiles ∆ et ∆0 se coupent en un point fixe A et forment un angle constant α; elles coupent deux droites fixesDetD0, formant un angle β, respectivement aux points M etM0.
Caractériser l’enveloppe de la droite M M0. Solution
Les pointsM etM0 étant en correspondance homographique surDetD0, M M0 enveloppe une coniqueC. QuandM0 vient en B, intersection de D et D0, M vient en T qui est le point de contact de D avec C. De même quand M vient en B,M0 vient en T0 point de contact deD0 avec C. On aBAT =α =T0AB.
Chaque isotrope de A, faisant un angle indéterminé avec elle-même, est une paire (∆,∆0) où M M0 passe par A, donc une des tangentes menées de A àC; ainsi A est un foyer de C. L’autre foyerF est tel que Det D0 sont bissectrices des anglesAT F etAT0F; siE etE0 sont les symétriques deA par rapport à DetD0,F est intersection deET etE0T0.
Le grand axe deC a pour longueur 2a=T F+T A=T0F+T0A=F E= F E0. L’angle EBE0 = 2.T BT0 = 2β, avec BA = BE = BE0; l’angle BET = BAT = α, l’angle EBF = β car BEE0 et F EE0 sont isocèles ; dans le triangleBEF, sinβ/sin(α+β) =EF/EB= 2a/AB, ce qui achève de déterminerC.
