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Théorème C.2 Soient B et C, deux ensembles, et ρ ⊆ B × C. Alors

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Théorème C.2 Soient B et C, deux ensembles, et ρ B × C. Alors

1.− ρ est total ρ−1 est surjectif ;

2.− ρ est déterministe ρ−1 est injectif ; 3.− ρ est injectif ρ−1 est déterministe ; 4.− ρ est surjectif ρ−1 est total.

(2)

Démonstration Soit ρ B × C. 1.- ρ est total ρ−1 est surjectif.

ρ est total.

=h définition de la totalité de ρ. i

(∀b : B| : (∃c : C| : bρc)).

=h définition de ρ−1. i

(∀b : B| : (∃c : C| : −1b)).

=h définition de la surjectivité de ρ−1. i

ρ−1 est surjectif.

(3)

2.- ρ est déterministe ρ−1 est injectif.

ρ est déterministe.

=h définition du déterminisme de ρ. i

(∀b : B, c, c0 : C|bρc bρc0 : c = c0)).

=h définition de ρ−1. i

(∀b : B, c, c0 : C|cρ−1b c0ρ−1b : c = c0)).

=

(∀c, c0 : C, b : B|cρ−1b c0ρ−1b : c = c0))

=h définition de l’injectivité de ρ−1. i

ρ−1 est injectif.

(4)

3.- ρ est injectif ρ−1 est déterministe.

ρ est injectif.

=h définition de la injectivité de ρ. i

(∀b, b0 : B, c : C|bρc b0ρc : b = b0))

=h définition de ρ−1. i

(∀b, b0 : B, c : C|cρ−1b −1b0 : b = b0)).

=

(∀c : C, b, b0 : B|cρ−1b −1b0 : b = b0))

=h définition du déterminisme de ρ−1. i

ρ−1 est déterministe.

(5)

4.- ρ est surjectif ρ−1 est total.

ρ est surjectif.

=h définition de la surjectivité de ρ. i

(∀c : C| : (∃b : B| : bρc)).

=h définition de ρ−1. i

(∀c : C| : (∃b : B| : −1b)).

=h définition de la totalité de ρ−1. i

ρ−1 est total.

C.Q.F.D.

(6)

Définitions 1 : Étant donnée une application f : B −→ C, alors

f est injective (∀b, b0 : B| f(b) = f(b0) : b = b0)

ce qui est équivalent à :

f est injective (∀b, b0 : B| b 6= b0 : f(b) 6= f(b0))

et, ce qui est équivalent à :

f est injective (∀b, b0 : B, c : C| bf c∧b0f c : b = b0)

(7)

Définitions 2 : Étant donnée une application f : B −→ C, alors

f est surjective (∀c : C| : (∃b : B| : f(b) = c)) ce qui est équivalent à :

f est surjective (∀c : C| : (∃b : B| : bf c))

(8)

EXEMPLES de démonstrations de type

“classique” appliqués à la théorie des relations :

(Ici, les différentes propriétés reliées à l’arithmétique sont supposées connues et n’ont pas à être démontrées. )

(9)

Étant données les deux relations suivantes :

a) τ Z×Z, définie par : τ = {i, j|j = 1/i : hi, ji}

b) k : Z −→ Z, définie par la règle : h.x = 2x

Pour chacune d’elle, déterminez s’il s’agit : (1) d’une fonction (c.-à-d. : déterministe) ;

(2) d’une application (c.-à-d. : déterministe et totale) ; (3) d’une application injective (c.-à-d. : déterministe,

totale et injective) ;

(4) d’une application surjective (c.-à-d. : déterministe, totale et surjective) ;

(10)

a)(1) (Intuitivement, τ semble être une relation déterministe.)

Démontrons donc que

(∀b, c, c0|bτ c bτ c0 : c = c0)

Soient b, c, c0 choisis tels que bτ c et bτ c0

het montrons que c = c0. i

Comme bτ c, alors par la définition de τ, on a c = 1/b.

Comme bτ c0, alors par la définition de τ, on a c0 = 1/b.

Donc, par la transitivité de =, on a c = c0. τ est donc une relation déterministe.

C.Q.F.D.

(11)

a)(2) (Intuitivement, τ semble ne pas être une relation totale, car la divi- sion par zéro n’est pas définie.)

Nous devons donc démontrer que

¬(∀b : Z| : (∃c : Z| : bτ c))

Ce qui est équivalent à démontrer (∃b : Z| : ¬(∃c : Z| : bτ c)).

h Voir (7.20), Axiome, De Morgan i

Ce qui est équivalent à démontrer (∃b : Z| : (∀c : Z| : ¬(bτ c))).

h Voir (7.21)(b), De Morgan i

(12)

Démontrons donc que

(∃b : Z| : (∀c : Z| : ¬(bτ c))).

Soit b := 0. h Un tel b existe car clairement 0 : Z. i

Soit c : Z

Alors, comme 1/0 n’est pas de type Z

h propriété de l’arithmétique i,

on ne peut pas avoir c = 1/0

Donc par la définition de τ, on ne peut avoir bτ c, On a donc ¬(bτ c). τ n’est donc pas une relation totale, et par conséquent n’est pas une applica- tion.

C.Q.F.D.

(13)

a)(3)et(4) ont tous deux des réponses négatives puisque τ n’est pas une application.

C.Q.F.D.

(14)

b)(1)et(2) k est nécessairement un application (à moins d’une erreur faite par le professeur dans l’énoncé) puisque c’est ce que signifie la notation

k : Z −→ Z

k est donc une relation déterministe et totale.

C.Q.F.D.

(15)

b)(3) (Intuitivement, k semble être une relation injective.)

Comme k est une application nous allons dé- montrer :

(∀x, x0 : Z|k(x) = k(x0) : x = x0).

Soient x, x : Z choisis tels que k(x) = k(x0).

Alors on a 2x = 2x0. h Définition de k. i

Alors on a x = x0. h Propriété de l’arithmétique. i

k est bien une application injective.

C.Q.F.D.

(16)

b)(4) (Intuitivement, k semble ne pas être une relation surjective, les nombres impairs ne semblant pas faire partie de l’image de k.)

Comme k est une application nous devons donc démontrer :

¬(∀y : Z| : (∃x : Z| : k(x) = y)) Ce qui est équivalent à démontrer (∃y : Z| : ¬(∃x : Z| : k(x) = y)).

h Voir (7.20), Axiome, De Morgan i

Ce qui est équivalent à démontrer (∃y : Z| : (∀x : Z| : k(x) 6= y)).

h Voir (7.21)(b), De Morgan i

(17)

Démontrons donc

(∃y : Z| : (∀x : Z| : k(x) 6= y)).

Soit y := 3. h Un tel y existe car clairement 3 : Z. i

Soit x : Z

Alors clairement, k(x) = 2x 6= 3, car 3 n’est pas un nombre pair.

h Définition de la parité – propriété de l’arithmétique. i

k n’est pas une application surjective.

C.Q.F.D.

(18)

Lemme C.3 Soient ρ B et σ B×C, deux relations déterministes.

Alors ρ σ est une relation déterministe sur A × C.

Démonstration

°°

°°

°°

°°

°

En supposant : (?) (∀a : A, b, b0 : B | aρb aρb0 : b = b0) et : (??) (∀b : B, c, c0 : C | bσc bσc0 : c = c0)

Nous allons démontrer : (∀a : A, c, c0 : C | σc σc0 : c = c0)

Soient a : A, c : C, c0 : C choisis tels que σc et σc0 het montrons que c = c0. i

Soit b : B choisi tel que aρb bσc

h Comme σc, par la définition de ◦, un tel b existe.i

Soit b0 : B choisi tel que aρb0 b0σc0

h Comme σc0, par la définition de ◦, un tel b0 existe,

cependant il est a priori possible que b0 soit différent de b.i

(19)

Comme on a aρb et aρb0 , on a donc b = b0. h Voir (?).i Ce dernier fait, combiné avec b0σc0, nous donne bσc0.

Ainsi, on a à la fois bσc et bσc0.

On a donc c = c0 h Voir (??).i

ρ σ est donc une relation déterministe.

C.Q.F.D.

(20)

Lemme C.4 Soient ρ A × B et σ B × C, deux relations injectives.

Alors ρ σ est une relation injective sur A × C.

Démonstration°

°°

°°

°°

°°

En supposant : (♦) (∀a, a0 : A, b : B | aρb a0ρb : a = a0) et : (♦♦) (∀b, b0 : B, c : C | bσc b0σc0 : b = b0)

Nous allons démontrer : (∀a, a0 : A, c : C | σc a0ρ σc : a = a0)

Soient a : A, a0 : A, c : C choisis tels que σc et a0ρ σc het montrons que a = a0. i

Soit b : B choisi tel que aρb bσc

h Comme σc, par la définition de ◦, un tel b existe.i

Soit b0 : B choisi tel que a0ρb0 b0σc

h Comme a0ρ σc, par la définition de ◦, un tel b0 existe,

cependant il est a priori possible que b0 soit différent de b.i

(21)

Comme on a bσc et b0σc , on a donc b = b0. h Voir (♦♦).i Ce dernier fait, combiné avec a0ρb0, nous donne a0ρb.

Ainsi, on a à la fois aρb et a0ρb.

On a donc a = a0 h Voir (♦).i

ρ σ est donc une relation injective.

C.Q.F.D.

(22)

Lemme C.5 Soient ρ A × B et σ B × C, deux relations totales.

Alors ρ σ est une relation totale sur A × C.

Démonstration

°°

°°

°°

°°

°

En supposant : (♥) (∀a : A |: (∃b : B |: aρb)) et : (♥♥) (∀b : B |: (∃c : C |: bσc))

Nous allons démontrer : (∀a : A |: (∃c : C |: a ρ σ c))

Soient a : A het montrons que (∃c : C |: a ρ σ c). i

Soit b : B choisi tel que aρb

h par : un tel b appartenant à B existe bien.i

Soit c : C choisi tel que bσc

h par ♥♥ : un tel c appartenant à C existe bien.i Alors on a bien que a ρ σ c

h Par la définition de ◦, car aρb et bσc. i

(23)

ρ σ est donc une relation totale.

C.Q.F.D.

(24)

Lemme C.6 Soient ρ A × B et σ B × C, deux relations surjectives.

Alors ρ σ est une relation surjective sur A × C.

Démonstration

°°

°°

°°

°°

°

En supposant : (♠) (∀b : B |: (∃a : A |: aρb)) et : (♠♠) (∀c : C |: (∃b : B |: bσc))

Nous allons démontrer : (∀c : C |: (∃a : A |: a ρ σ c))

Soient c : C het montrons que (∃a : A |: a ρ σ c). i

Soit b : B choisi tel que bσc

h par : un tel b appartenant à B existe bien.i

Soit a : A choisi tel que aρb

h par ♠♠ : un tel a appartenant à A existe bien.i Alors on a bien que a ρ σ c

h Par la définition de ◦, car aρb et bσc. i

(25)

ρ σ est donc une relation surjective.

C.Q.F.D.

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