2. Montrer que si n ≥ 2, alors f(b) = f (a) + f 0 (a)(b − a) + R b

Universit´ e de Nice, M1 Enseignement, 2019-2020 Analyse 2, feuille 2. Int´ egrales simples et g´ en´ eralis´ ees I. Premi` ere ´ epreuve 2016

Soit n un entier naturel sup´ erieur ou ´ egal ` a 1. On consid` ere f ∈ C ⁿ (I ). Soient a et b deux nombres r´ eels dans I.

1. Justifier que f (b) = f (a) + R _b

a f ⁰ (t)dt.

2. Montrer que si n ≥ 2, alors f(b) = f (a) + f ⁰ (a)(b − a) + R _b

a f ⁰⁰ (t)(b − t)dt.

3. Montrer que

f (b) = f (a) + f ⁰ (a)(b − a) + · · · + f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (a)

(n − 1)! (b − a) ⁿ⁻¹ + Z b

a

f ⁽ⁿ⁾ (t)

(n − 1)! (b − t) ⁿ⁻¹ dt.

4. Justifier l’existence de M _n = max _x∈[a,b] |f ⁽ⁿ⁾ (x)|.

5. Montrer que

|f (b) − f (a) − f ⁰ (a)(b − a) − · · · − f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (a)

(n − 1)! (b − a) ⁿ⁻¹ | ≤ M n

(b − a) ⁿ n! . II. Le th´ eor` eme fondamental dans un cas particulier : d’apr` es math’x p.231

Soit I un intervalle de R , a ∈ I et f : I → R , continue et croissante. On d´ efinit la fonction F sur I par F (x) = R x

a f (t)dt. Soit x ₀ ∈ I .

1. On suppose que h > 0 et que x ₀ + h ∈ I. En encadrant le quotient, montrer que (F (x ₀ + h) − F (x 0 ))/h a une limite quand h → 0 ⁺ .

2. Reprendre la question 1. si h < 0.

3. En d´ eduire que F est d´ erivable en x ₀ et pr´ eciser F ⁰ (x ₀ ).

III. D’apr` es la premi` ere ´ epreuve 2014

On d´ efinit la fonction g sur R par x 7→ g(x) = R x

0 f(t) sin(x − t)dt. Montrer que g est de classe C ² et qu’elle v´ erifie l’´ equation diff´ erentielle y ⁰⁰ (x) + y(x) = f(x).

IV. D’apr` es la premi` ere ´ epreuve 2007 Pour tout n ∈ N on pose I _n = R π/2

0 cos ²ⁿ (t)dt.

1. Calculer I 0 .

2. Montrer que, pour tout n ∈ N , on a I _n+1 = ²ⁿ⁺¹ _2n+2 I _n (on pourra penser ` a une int´ egration par parties). En d´ eduire que, pour tout n ∈ N, on a I n = ₄

n

^(2n)! (n!)

²

π 2 .

V. Premi` ere ´ epreuve 2013

Pour quelles valeurs de λ ∈ R l’int´ egrale R +∞

0 e ^−λt dt est-elle convergente? En cas de convergence, calculer sa valeur.

VI. D’apr` es la deuxi` eme ´ epreuve 2014 1. Montrer que R +∞

0 e ^−x

²

^/2 dx converge.

2. Montrer que R +∞

−∞ e ^−x

²

^/2 dx converge et que R +∞

−∞ e ^−x

²

^/2 dx = 2 R +∞

0 e ^−x

²

^/2 dx.

3. a. Calculer R +∞

0 xe ^−x

²

^/2 dx.

1

b. Soit k un entier naturel non nul. En int´ egrant par parties, calculer I _k = R +∞

0 x ^2k e ^−x

²

^/2 dx en fonction de I 0 .

VII. D’apr` es la premi` ere ´ epreuve 2010 1. Montrer que les deux int´ egrales R +∞

1

e

^−t

1−e

^−t

dt et R +∞

1 e

^−t

t dt sont convergentes.

2. D´ eterminer la limite de _1−e ¹

−t

− ¹ _t quand t tend vers 0 ⁺ . 3. Nature de l’int´ egrale R +∞

0 e ^−t ( _1−e ¹

−t

− ¹ _t )dt.

VIII. Comparaison, ´ equivalents, primitives

Nature des int´ egrales (en fonction des param` etres r´ eels ´ eventuels) : R 1

0 ln(u)du, R +∞

1 e √

^−t

t dt, R 1 0

ln t

t dt, R +∞

1

1+sin

²

t

t

^α

(1+t

^β

) dt (α, β > 0), R +∞

0

1−e

^−t

t

^α

dt.

IX. Emploi d’une int´ egration par parties 1. Nature de R +∞

1

cos(t) t

²

dt.

2. Montrer que pour tout X ≥ 1 on a Z X

1

sin(t)

t dt = [− cos(t) t ] ^X ₁ −

Z X 1

cos(t) t ² dt.

3. En d´ eduire que R +∞

1

sin(t)

t dt converge.

X. Grand classique!

1. Montrer que l’int´ egrale R +∞

0 t ^x−1 e ^−t dt converge si et seulement si x > 0. Pour tout r´ eel x strictement positif, on notera Γ(x) = R +∞

0 t ^x−1 e ^−t dt.

2. Montrer que Γ(x + 1) = xΓ(x) pour tout r´ eel x strictement positif.

3. Calculer Γ(1). En d´ eduire Γ(n) pour n ∈ N ^∗ . XI. Comparaison s´ erie-int´ egrale

Soit β > 1.

1. Calculer, pour tout r´ eel x ≥ 2, R x 2

1 t(ln(t))

^β

dt.

2. En d´ eduire que R +∞

2

1

t(ln(t))

^β

dt est convergente.

3. En d´ eduire que P ₁

n(lnn)

^β

est convergente.

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