MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
1. Soit f une fonction de classe C 1 dans un intervalle [a, b] telle que f 0 soit dérivable dans ]a, b[ . Montrer qu'il existe d dans ]a, b[ tel que
f (b) − f (a) − (b − a)f 0 (a) = (b − a) 2 2 f 00 (d) On considèrera obligatoirement une fonction ϕ de la forme :
ϕ(t) = f (t) − f (a) − (t − a)f 0 (a) − K(t − a) 2 pour un réel K bien choisi.
2. Soit G une fonction de classe C 2 dans [0, +∞[ . On dénit une fonction g par
∀x ∈ [0, +∞[: g(x) =
− G 0 (0) si x = 0 1
x G(x 2 ) − G(x) si x 6= 0 a. Les fonctions dénies dans ]0, +∞[
x 7→ G(x) − G(0)
x , x 7→ G(x 2 ) − G(0) x admettent elles des limites en 0 ?
b. Montrer que g est continue dans [0, +∞[ .
c. Comment se traduit le résultat de la question 1 appliqué à la fonction G avec a = 0 et b = x ? Et avec a = 0 et b = x 2 ?
d. Montrer que g est de classe C 1 dans [0, +∞[ et préciser g 0 (0) .
Corrigé
1. La fonction ϕ est obtenue à partir de f en ajoutant une fonction polynomiale. Elle a donc les mêmes propriétés de dérivabilité et de continuité que f . En particulier, les régularités requises pour appliquer deux fois le théorème de Rolle sont vériées.
Choisissons K pour que ϕ(b) = 0 . C'est possible car cela revient à résoudre une équa- tion du premier degré. Il n'est pas utile de préciser la valeur. Le point important est que
f (b) = f(a) + (b − a)f 0 (a) + K(b − a) 2
Comme ϕ(a) = 0 , on peut appliquer le théorème de Rolle entre a et b . Il existe alors c ∈]a, b[ tel que ϕ 0 (c) = 0 . Or
ϕ 0 (t) = f 0 (t) − f 0 (a) − 2K(t − a) ⇒ ϕ 0 (a) = 0
On peut encore appliquer le théorème de Rolle ; cette fois à ϕ 0 entre a et c . Il existe donc un d ∈]a, c[⊂]a, b[ tel que ϕ 00 (d) = 0 . Or
ϕ 00 (t) = f 00 (t) − 2K ⇒ K = 1 2 f 00 (d)
En remplaçant K dans la relation caractérisant ϕ(b) = 0 , on déduit la formule annoncée f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (a) + (b − a) 2
2 f 00 (d)
2. a. Notons τ la première fonction proposée qui est le taux d'accroissement de G entre 0 et x
τ (x) = G(x) − G(0) x − 0 Par dénition de la dérivabilité de G en 0 , τ − → 0 G 0 (0) . On peut aussi utiliser τ pour exprimer la deuxième fonction
G(x 2 ) − G(0)
x = x τ (x 2 ) − → 0 0 × G 0 (0) = 0
b. Pour tout x > 0 , la fonction g est continue en x par les théorèmes sur les opérations sur les fonctions admettant des limites donc g est continue dans ]0, +∞[ . Le point important est de montrer que g est continue en 0 c'est à dire qu'elle converge vers
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Ader2MPSI B 29 juin 2019
−G 0 (0) en 0 . On utilise la question a. Pour tout x > 0 , écrivons :
g(x) = G(x 2 ) − G(0) + G(0) − G(x) x
= x
|{z}
→0
G(x 2 ) − G(0) x 2
| {z }
→G
0(0)
− G(x) − G(0) x
| {z }
→G
0(0)
→ −G 0 (0)
c. Traduction du résultat la question 1. entre 0 et x :
∃c x ∈ ]0, x[ tq G(x) = G(0) + (x − 0)G 0 (0) + x 2 2 G 00 (c x ) Traduction du résultat la question 1. entre 0 et x 2 :
∃d x ∈
0, x 2 tq G(x 2 ) = G(0) + (x 2 − 0)G 0 (0) + x 4 2 G 00 (d x )
d. La fonction g est C 1 dans ]0, +∞[ par les théorèmes usuels sur les opérations fonc- tionnelles. En 0 se posent deux problèmes : la dérivabilité de g et la convergence de g 0 vers g 0 (0) .
On montre d'abord que g 0 converge vers G 0 (0) − 1 2 G 00 (0) strictement à droite de 0 .
Exprimons g 0 (x) pour x > 0 puis remplaçons G(x) et G(x 2 ) par les expressions de la question précédente
g 0 (x) = − 1
x 2 G(x 2 ) − G(x)
+ 2G 0 (x 2 ) − 1 x G 0 (x)
= −G 0 (0) − x 2
2 G 00 (d x ) + 1
x G 0 (0) + 1
2 G 00 (c x ) + 2G 0 (x 2 ) − 1 x G 0 (x) Quand x tend vers 0 , c x et d x tendent aussi vers 0 . Comme G 0 et G 00 sont continues en 0 ,
x 2
2 G 00 (d x ) → 0, 1
2 G 00 (c x ) → 1
2 G 00 (0), 2G 0 (x 2 ) → 2G 0 (0) Comme G 0 est dérivable en 0 ,
1
x G 0 (0) − 1
x G 0 (x) = − G 0 (x) − G 0 (0)
x → −G 00 (0)
On en déduit que
g 0 (x) → −G 0 (0) − G 00 (0) + 1
2 G 00 (0) + 2G 0 (0) = G 0 (0) − 1 2 G 00 (0) Le théorème de limite de la dérivée prouve alors que g est dérivable en 0 avec
g 0 (0) = G 0 (0) − 1 2 G 00 (0) et que g 0 est continue en 0 donc que g est C 1 dans [0, +∞[ .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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