Soit a ∈ ]0, 1[ , la fonction f a est dénie dans [0, +∞[ par f a (x) = a x . On considère des suites dénies par récurrence par x 0 ≥ 0 et x n+1 = f a (x n ) .

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Énoncé

Soit a ∈ ]0, 1[ , la fonction f _a est dénie dans [0, +∞[ par f _a (x) = a ^x . On considère des suites dénies par récurrence par x ₀ ≥ 0 et x _n+1 = f _a (x _n ) .

Dans le problème, on pourra noter f au lieu de f _a pour alléger l'écriture.

PARTIE I

1. a. Montrer que f _a est strictement décroissante et admet un unique point xe noté c . Comme c dépend de a , on pourra le noter c _a en cas d'ambiguïté . Que peut-on en conclure pour les suites extraites (x _2n ) _n∈

et (x _2n+1 ) _n∈

?

b. Montrer que c est un point xe de f ◦ f , exprimer (f ◦ f ) ⁰ (c) en fonction de f ⁰ (c) . 2. a. Montrer, en utilisant la stricte décroissance de f que

1 ln ¹ _a < 1

e ⇔ |f ⁰ (c)| > 1

b. Que peut-on dire du point xe c de f _a lorsque a < e ^−e ou a > e ^−e ?

PARTIE II

On pose g(x) = f ◦ f (x) − x et h(x) = x + f (x) pour tout x ≥ 0 . 1. a. Montrer que pour tout x ≥ 0

g ⁰ (x) = (ln a) ² a ^x+f(x) − 1 b. Montrer que h ⁰ est strictement croissante que

h ⁰ (0) = 1 + ln a, g ⁰ (0) = (ln a) ² a − 1, g(0) = a c. Préciser les limites en +∞ de h ⁰ , g , g ⁰ .

d. Comparer les variations de g ⁰ avec celles de h .

2. a. Montrer que, si a > ¹ _e , h ⁰ reste strictement positif dans [0, +∞[ . b. Montrer que, si a ≤ ¹ _e , h ⁰ s'annule dans [0, +∞[ seulement au point

b = ln(ln _a ¹ ) ln( ¹ _a )

c. Montrer que a < e ^−e entraîne g ⁰ (b) > 0 , et que a > e ^−e entraîne g ⁰ (b) < 0 . 3. On suppose ici a > ¹ _e . Préciser le tableau des signes de g . En déduire le comportement

de (x n ) n∈

suivant la valeur de x 0 .

4. On suppose ici e ^−e < a ≤ ¹ _e . Préciser le tableau des signes de g . En déduire le com- portement de (x n ) n∈

suivant la valeur de x 0 .

5. On suppose a < e ^−e .

a. Montrer que g ⁰ (0) < 0 et g ⁰ (b) > 0 . En déduire la forme du tableau de variations de g . Combien g peut-elle avoir de zéros ?

b. Montrer que g s'annule exactement trois fois en des points c 1 , c , c 2 avec c 1 < c <

c 2 . Montrer que f (c 1 ) = c 2 et que f (c 2 ) = c 1 .

c. Préciser le comportement de (x n ) _n∈N suivant la valeur de x 0 .

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Corrigé

Attention, ce corrigé utilise des dénitions et des conditions de stabilité présentées dans le complément de cours

sur les suites dénies par récurrence. Ces dénitions et propriétés sont à la frontière (extérieure) du programme.

En particulier, pour un point xe c d'une fonction f on utilisera :

|f ⁰ (c)| < 1 ⇒ c est stable

|f ⁰ (c)| > 1 ⇒ c est instable

On utilisera aussi que lorsque I est un intervalle stable pour une fonction f croissante. La suite dénie par récurrence par f et une condition initiale x ₀ dans I est monotone. Le sens de la monotonie est lié au signe de f (x 0 ) − x 0 . L'inégalité initiale entre x 0 et x 1 = f (x 0 ) se propage en une inégalité de même sens entre x n et x n+1 à cause de la croissance de f . Lorsqu'une fonction f est croissante, le tableau des signes de x → f (x) − x permet donc de déterminer la stabilité d'un point xe.

Partie I

1. a. La fonction f a est strictement décroissante dans R car pour a ∈]0, 1[

f _a ⁰ (x) = (ln a)a ^x < 0

La fonction f ◦ f est donc croissante, les suites (x 2n ) _n∈N et (x 2n+1 ) _n∈N sont donc monotones.

Pour étudier les points xes de f , on forme g avec g(x) = f a (x) − x . Comme f a

est décroissante, g l'est aussi. De plus elle décroit de −∞ à −∞ . Elle s'annule donc en un unique point c qui est l'unique point xe de f . Il vérie

a ^c = c

b. Si f _a (c) = c alors evidemment f _a ◦ f _a (c) = c . De plus : (f _a ◦ f _a ) ⁰ (c) = f _a ⁰ (c)f _a ⁰ ◦ f _a (c) = (f _a ⁰ (c)) ² D'après le a., on obtient

(f _a ◦ f _a ) ⁰ (c) = (ln a) ² c ²

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http ://back.maquisdoc.net/data/cours_nicolair/C4792.pdf

2. a. L'objectif de cette question est de donner un outil permettant de comparer faci- lement |f _a ⁰ (c)| avec 1 .

On va comparer _ln ¹

a

et ¹ _e en utilisant la fonction monotone décroissante f _a . f a ( 1

ln ¹ _a ) = a

1

ln 1a

= a ⁻

= e

= 1 e La fonction g étant dénie comme en 1., on en déduit

1

e − 1

ln ¹ _a = g( 1 ln ¹ _a ) Comme g est décroissante de +∞ vers −∞

1 ln ¹ _a < 1

e ⇔ g( 1

ln ¹ _a ) > 0 ⇔ 1

ln _a ¹ < c ⇔ 1 < (− ln a)c ⇔ | ln a|c > 1 Comme f _a ⁰ (c)| = | ln a|c , on obtient bien l'équivalence demandée.

On peut remarquer que lorsque cette égalité est vériée, le point xe c de f a est instable.

b. On se ramène à la forme de la question précédente : a < e ^−e ⇔ e ^e < 1

a ⇔ e < ln 1

a ⇔ 1

ln ¹ _a < 1 e On en déduit :

a < e ^e si et seulement si |f _a ⁰ (c)| > 1 c'est à dire c instable.

a > e ^e si et seulement si |f _a ⁰ (c)| < 1 c'est à dire c stable.

Partie II

L'objet de cette partie est l'étude des points xes de f ◦ f . On dénit g et h par

g(x) = f ◦ f (x) − x h(x) = f (x) + x

1. a. Un calcul de dérivée.

g ⁰ (x) = f ⁰ (x)f ⁰ (f (x)) − 1 = ln a a ^x ln a a ^f(x) − 1 = (ln a) ² a ^h(x) − 1 b. Étude de h .

h(x) = f (x) + x ⇒ h ⁰ (x) = 1 + (ln a)a ^x ⇒ h ⁰⁰ (x) = (ln a) ² a ^x ≥ 0

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donc h ⁰ est croissante. Par dénition f (0) = 1 donc h ⁰ (0) = 1 + ln a

g ⁰ (0) = (ln a) ² a ^0+f(0) − 1 = (ln a) ² a − 1 Comme f(1) = a , g(0) = a .

c. En +∞ : f → 0 car 0 < a < 1 , d'où g → −∞ , h ⁰ → 1 , g ⁰ → −1 d. D'après 1.a.

g ⁰ (x) = (ln a) ² a ^h(x) − 1

avec (ln a) ² > 0 et a < 1 donc les variations de g ⁰ sont opposées à celles de h . Par exemple quand h est croissant, g ⁰ est décroissant.

2. Étude des zéros de h ⁰ . On rappelle que h ⁰ est croissante avec

h ⁰ (0) = 1 + ln a h ⁰ (x) = 1 + (ln a)a ^x a. Si a > e ⁻¹ , h ⁰ (0) > 0 donc h ⁰ > 0 dans [0, +∞[ .

b. Si a ≤ e ⁻¹ , h ⁰ (0) ≤ 0 donc h ⁰ s'annule. En étudiant l'équation on trouve que h ⁰ s'annule seulement en

b = ln(ln _a ¹ ) ln _a ¹

c. Dans le cas a < e ^−e , on a < e ⁻¹ donc h ⁰ s'annule en b calculé dans la question précédente. Alors :

h ⁰ (b) = 1 + (ln a)a ^b = 0 ⇒ f (b) = a ^b = − 1 ln a Donc

f ◦ f(b) = e ^{f(b) ln a} = e ⁻¹ D'autre part,

g ⁰ (b) = (ln a) ² a ^b+f(b) − 1 = (ln a) ² f(b)f ◦ f(b) − 1

= (ln a) ² 1 ln ¹ _a

1

e − 1 = ln ¹ _a e − 1

On en déduit que g ⁰ (b) > 0 lorsque a < e ^−e et que g ⁰ (b) < 0 lorsque a > e ^−e . Remarquer que l'on doit toujours avoir a < e ⁻¹ pour que le b annulant h ⁰ existe.

La suite de la discussion portera donc sur trois cas : a < e ^−e

e ^−e < a < e ⁻¹ e ⁻¹ < a

3. Cas e ⁻¹ < a . Dans ce cas

g ⁰ (0) = (ln a) ² a − 1 > e ⁻¹ − 1 > 0 On peut former d'après II.1. le tableau de variations

0 +∞

h ⁰ +

h %

g ⁰ < 0 & −1 g a > 0 & −∞

La fonction g s'annule une fois seulement. Ce point est forcément le point xe c de f . Le tableau de g montre que ce point xe est attractif pour f ◦ f . Les deux suites extraites (indices pairs et indices impairs pour une récurrence dénie par f ◦ f ) sont adjacentes et convergent vers c .

4. Cas e ^−e < a < e ⁻¹ . Cette fois g ⁰ (b) < 0 d'après 2.c.

0 b +∞

h ⁰ − 0 +

g ⁰ % g ⁰ (b) < 0 &

g a & −∞

La situation est en fait la même que celle du cas précédent. La fonction g admet un seul zéro qui est le point xe c de f . Il est attractif, les suites extraites convergent vers c .

5. Cas a < e ^−e . Cette fois on doit trouver un vrai changement de comportement car d'après la partie I., le point xe c de f devient instable.

a. Posons ϕ(a) = g ⁰ (0) = (ln a) ² a − 1 . Alors

ϕ ⁰ (a) = 2 ln a + (ln a) ² = (2 + ln a) ln a

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On en déduit le tableau suivant :

0 e ⁻² 1

ϕ −∞ % < 0 & −1

avec ϕ(e ⁻² ) = _e ⁴

− 1 < 0 . On en déduit donc que g ⁰ (0) est toujours strictement négatif. On peut former le tableau

0 b ₁ b b ₂ +∞

h ⁰ − 0 +

g ⁰ < 0 % g ⁰ (b) > 0 & −1

g a > 0 & α % β & −∞

On en déduit que g peut avoir 1, 2 ou 3 zéros suivant les signes de α et β . b. On sait que c est un point xe de f et de f ◦ f . C'est donc un zéro de g . De

plus, d'après I.2.b, f ⁰ (c) < −1 donc g ⁰ (c) > 0 . Comme [b 1 , b 2 ] est le seul intervalle sur lequel g est croissante, c est dans cet intervalle donc α < 0 et β > 0 . Par conséquent g s'annule trois fois en des points c ₁ < c < c ₂ .

c. Le tableau des signes de g est alors :

0 c ₁ c c ₂ +∞

+ 0 − 0 + 0 −

Montrons que f (c 1 ) = c 2 .

En eet f ◦ f (f (c 1 )) = f (f ◦ f (c 1 )) = f (c 1 ) donc f (c 1 ) est un point xe de f ◦ f donc f (c 1 ) ∈ {c 1 , c, c 2 } . Or f (c 1 ) = c 1 est impossible car c 1 est le seul point xe de f . L'égalité f(c 1 ) = c est aussi impossible car f est injective (strictement décroissante) avec f (c) = c . La seule possibilité est donc f (c 1 ) = c 2 . On démontre de même que f (c ₂ ) = c ₁ .

Lorsque a devient strictement plus petit que e ^−e , le point xe c "explose" en trois points xes. Les deux points xes stables c ₁ et c ₂ encadrent le point xe c devenu instable.

0 → c ₁ ← c → c ₂ ←

Les suites extraites ne sont plus adjacentes mais convergent l'une vers c ₁ l'autre vers c ₂ .

Par exemple si x ₀ < c ₁ alors (x _2n ) _n∈

est croissante et converge vers c ₁ dans [0, c ₁ ] , x ₁ = f (x ₀ ) > c ₂ et (x _2n+1 ) _n∈

est décroissante et converge vers c ₂ dans [c 2 , +∞[ .

Si c 1 < x 0 < c alors (x 2n ) _n∈N est décroissante et converge vers c 1 dans [c 1 , c[ , x 1 = f (x 0 ) > c 2 et (x 2n+1 ) _n∈N est croissante et converge vers c 2 dans ]c, c 2 [ .

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