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(x, r) = ]x − r, x + r[⊂]0, 1[⊂ [0, 1[. Donc x ∈ Int(A). Donc ]0, 1[⊂ Int(A).

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

2017-2018 MAT303–UGA

DM : Partiel 2016 Correction

Exercice 4.1) Soit x ∈ Int(A). Alors il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A. Mais x ∈ B(x, r) donc x ∈ A. Ainsi, Int(A) ⊂ A.

2a) Pour tout x ∈]0, 1[, comme ]0, 1[ est un intervalle ouvert, il existe r > 0 tel que B

|·|

(x, r) = ]x − r, x + r[⊂]0, 1[⊂ [0, 1[. Donc x ∈ Int(A). Donc ]0, 1[⊂ Int(A).

De plus, d’apr` es la question pr´ ec´ edente, Int(A) ⊂ [0, 1[. Et 0 ∈ / Int(A) car pour tout r > 0, B

|·|

(0, r) =] − r, r[ contient −r/2 qui n’appartient pas [0, 1[. Donc finalement Int(A) ⊂ [0, 1[\{0} =]0, 1[.

Ainsi, par double inclusion, Int(A) =]0, 1[.

2b) Comme ci-dessus, comme A est ouvert, A ⊂ Int(A), et d’aprs 1), Int(A) ⊂ A, donc Int(A) = A.

3) Soit x ∈ Int(A). Il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A. Montrons que B(x, r) ⊂ Int(A). Soit

y ∈ B(x, r). Comme B(x, r) est ouvert, il existe r

0

> 0 tel que B(y, r

0

) ⊂ B (x, r) ⊂ A, donc

y ∈ Int(A). Donc B(x, r) ⊂ Int(A). Donc Int(A) est ouvert.

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