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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Soit n≥2un entier naturel. On note φ_n(X)∈^Z[X] le polynôme cyclotomique qui s’annule sur les racines n- ièmes de l’unité dans C.

1) Rappeler l’expression de φ_pr_m(X)lorsque p est un nombre premier ne divisant pas m et r est un entier naturel.

2) Supposons que n a au moins deux facteurs premiers. Montrer que φ_n(0)^etφn⁽¹⁾valent 1. Montrer également que φpr(0)=1^sir≥¹et p premier.

3) Supposons que n est le produit de k nombres premiers deux à deux distincts. Montrer que φn^'(0)=(−1)^k⁻¹^. Dans le cas contraire, (donc si n a un facteur carré), montrer que φ_n^'(0)=0

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