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= -= )1()0( . Dans le cas contraire, (donc si n a un facteur carré), montrer que 0)0( = X C Soit X ˛ Z

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Soit n≥2un entier naturel. On note φn(X)∈Z[X] le polynôme cyclotomique qui s’annule sur les racines n- ièmes de l’unité dans C.

1) Rappeler l’expression de φprm(X)lorsque p est un nombre premier ne divisant pas m et r est un entier naturel.

2) Supposons que n a au moins deux facteurs premiers. Montrer que φn(0)et φn(1)valent 1. Montrer également que φpr(0)=1si r≥1et p premier.

3) Supposons que n est le produit de k nombres premiers deux à deux distincts. Montrer que φn'(0)=(−1)k−1. Dans le cas contraire, (donc si n a un facteur carré), montrer que φn'(0)=0

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