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1. S est le morceau du plan x + y + z = 1 avec 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1.

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Academic year: 2022

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(1)

Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)

Page web : http://math255.free.fr

Feuille d’exercices 9

Exercice 1. Paramétrer la surface S et calculer son aire.

1. S est le morceau du plan x + y + z = 1 avec 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1.

2. S est le morceau du graphe de la fonction z = x

2

+ y

2

comprise à l’intérieur du cylindre x

2

+ y

2

= 1,

3. S est le morceau du cône z

2

= x

2

+ y

2

avec z ≥ 0, à l’intérieur du cylindre x

2

+ y

2

= 4.

4. S est le morceau du cylindre x

2

+ y

2

= 4 comprise entre les plans z = 0 et z = 2 + x.

Exercice 2. Paramétrer la surface S et calculer l’intégrale Z Z

S

f ds où ds est l’élément d’aire : 1. S est le morceau du plan z = x + y avec ( x, y ) ∈ [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] et f ( x, y, z ) = xyz.

2. S est le morceau de la sphère x

2

+ y

2

+ z

2

= 1 correspondant à z ≥ 0 et f ( x, y, z ) = x

2

+ y

2

.

3. S est le morceau du cône z

2

= x

2

+ y

2

comprise entre les plans z = 0 et z = 4, et f ( x, y, z ) = z.

4. S est le morceau du graphe de la fonction z = x + y correspondant à ( x, y ) ∈ [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] , et f ( x, y, z ) = z.

5. S est la portion du cylindre x

2

+ y

2

= 1 compris entre les plans z = 0 et z = 1, f ( x, y, z ) = z.

Exercice 3. Paramétrer la surface S et calculer le flux du champ de vecteurs ~ F à travers S : 1. ~ F ( x, y, z ) = ( z, z, z ) , S est la sphère de rayon 1 centrée sur l’origine et orientée par la

normale extérieure,

2. ~ F ( x, y, z ) = ( 0, 1, z ) , S est le morceau du plan z = x + y avec 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1, le vecteur normal pointe vers le haut,

3. ~ F ( x, y, z ) = ( 1, z, x

2

) , S est le morceau du plan x + y + z = 1 avec x, y, z ≥ 0, le vecteur normal pointe vers le haut.

4. ~ F ( x, y, z ) = ( x, y, z ) , S est la surface du cylindre x

2

+ y

2

= 1 avec − 1 ≤ z ≤ 1, le vecteur normal pointe vers l’extérieur du cylindre.

5. ~ F ( x, y, z ) = (− y, x, 1 ) , S est la surface du cône z

2

= x

2

+ y

2

avec 0 ≤ z ≤ 1, le vecteur

normal pointe vers le haut.

(2)

Exercice 4. Calculer l’intégrale triple Z Z Z

f ( x, y, z ) dx dy dz : 1. f ( x, y, z ) = x + y + z, Ω est le cube [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] .

2. f ( x, y, z ) = x + y, Ω = ( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + y . 3. f ( x, y, z ) = z, Ω = ( x, y, z ) : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .

4. f ( x, y, z ) = z, Ω = ( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 .

5. f ( x, y, z ) = y, Ω = ( x, y, z ) : 0 ≤ y ≤ 1 − x

2

, 0 ≤ z ≤ y .

Exercice 5. Calculer l’intégrale triple Z Z Z

f ( x, y, z ) dx dy dz en utilisant les coordonnées sphériques ou cylindriques.

1. Ω est la demi-boule x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1 avec z ≥ 0, f ( x, y, z ) = z

2

.

2. Ω est le quart de la boule x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1 correspondant à x ≥ 0 et y ≥ 0, f ( x, y, z ) = xy.

3. Ω est le huitième de la boule x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1 correspondant à x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, f ( x, y, z ) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

4. Ω est la portion du cylindre x

2

+ y

2

≤ 4 comprise entre les plans z = 0 et z = 1, f ( x, y, z ) = z.

5. Ω est le domaine délimité par le cône z

2

= x

2

+ y

2

et le plan z = 1, f ( x, y, z ) = x

2

+ y

2

.

2

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