Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)
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Feuille d’exercices 9
Exercice 1. Paramétrer la surface S et calculer son aire.
1. S est le morceau du plan x + y + z = 1 avec 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1.
2. S est le morceau du graphe de la fonction z = x
2+ y
2comprise à l’intérieur du cylindre x
2+ y
2= 1,
3. S est le morceau du cône z
2= x
2+ y
2avec z ≥ 0, à l’intérieur du cylindre x
2+ y
2= 4.
4. S est le morceau du cylindre x
2+ y
2= 4 comprise entre les plans z = 0 et z = 2 + x.
Exercice 2. Paramétrer la surface S et calculer l’intégrale Z Z
S
f ds où ds est l’élément d’aire : 1. S est le morceau du plan z = x + y avec ( x, y ) ∈ [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] et f ( x, y, z ) = xyz.
2. S est le morceau de la sphère x
2+ y
2+ z
2= 1 correspondant à z ≥ 0 et f ( x, y, z ) = x
2+ y
2.
3. S est le morceau du cône z
2= x
2+ y
2comprise entre les plans z = 0 et z = 4, et f ( x, y, z ) = z.
4. S est le morceau du graphe de la fonction z = x + y correspondant à ( x, y ) ∈ [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] , et f ( x, y, z ) = z.
5. S est la portion du cylindre x
2+ y
2= 1 compris entre les plans z = 0 et z = 1, f ( x, y, z ) = z.
Exercice 3. Paramétrer la surface S et calculer le flux du champ de vecteurs ~ F à travers S : 1. ~ F ( x, y, z ) = ( z, z, z ) , S est la sphère de rayon 1 centrée sur l’origine et orientée par la
normale extérieure,
2. ~ F ( x, y, z ) = ( 0, 1, z ) , S est le morceau du plan z = x + y avec 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1, le vecteur normal pointe vers le haut,
3. ~ F ( x, y, z ) = ( 1, z, x
2) , S est le morceau du plan x + y + z = 1 avec x, y, z ≥ 0, le vecteur normal pointe vers le haut.
4. ~ F ( x, y, z ) = ( x, y, z ) , S est la surface du cylindre x
2+ y
2= 1 avec − 1 ≤ z ≤ 1, le vecteur normal pointe vers l’extérieur du cylindre.
5. ~ F ( x, y, z ) = (− y, x, 1 ) , S est la surface du cône z
2= x
2+ y
2avec 0 ≤ z ≤ 1, le vecteur
normal pointe vers le haut.
Exercice 4. Calculer l’intégrale triple Z Z Z
Ω
f ( x, y, z ) dx dy dz : 1. f ( x, y, z ) = x + y + z, Ω est le cube [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] .
2. f ( x, y, z ) = x + y, Ω = ( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + y . 3. f ( x, y, z ) = z, Ω = ( x, y, z ) : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .
4. f ( x, y, z ) = z, Ω = ( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 .
5. f ( x, y, z ) = y, Ω = ( x, y, z ) : 0 ≤ y ≤ 1 − x
2, 0 ≤ z ≤ y .
Exercice 5. Calculer l’intégrale triple Z Z Z
Ω
