Soit M 0 = (x 0 , y 0 ) et M 1 = (x 1 , y 1 ) . On construit P 0 par les conditions :

(1)

MPSI B DS 5 5 janvier 2020

Exercice

Soit A le point (1, 0) et B le point (0, 1) dans le plan R ² . Avec ces points xés, on forme une opération (notée ∗ ) dans le plan.

Soit M 0 = (x 0 , y 0 ) et M 1 = (x 1 , y 1 ) . On construit P 0 par les conditions :

(P ₀ M ₀ ) k Ox P 0 ∈ (AB) On construit Q 0 par les conditions :

(P ₀ Q ₀ ) k (M ₁ B) Q 0 ∈ (AM 1 )

On construit le point M ₂ = M ₀ ∗ M ₁ en imposant que M ₀ P ₀ Q ₀ M ₂ est un parallélogramme.

1. On note (x ₂ , y ₂ ) le point M ₂ . Calculer les coordonnées de P ₀ et Q ₀ . Montrer que x 2 = x 0 + x 1 y 0

y 2 = y0y1

2. Montrer que ∗ est associative, admet un élément neutre et que si y 6= 0 , (x, y) admet un inverse.

3. On dénit une suite (M _n ) _n∈ _N par M ₀ , M ₁ et

M n = M _n−1 ∗ M _n−2

pour tout entier n ≥ 2 . On pose M n = (x n , y n ) , déterminer y n en fonction de y 0 et y 1 .

Problème I.

Le théorème des accroissements nis intervient à plusieurs reprises dans ce problème.

Vous devrez préciser chaque fois clairement pour quelle fonction et entre quelles bornes vous l'utilisez.

Ce problème a pour objet une étude de la constante d'Euler notée γ . On pose :

∀n ∈ N ^∗ , u n =

n

X

k=1

1 k − ln n.

Partie I

1. Prouver pour tout k ∈ N ^∗ les inégalités

1 k + 1 ≤ ln k + 1 k ≤ 1

k

2. Montrer que la suite (u n ) _n∈N

^∗

est décroissante et que pour tout n ∈ N ^∗ :

1 n ≤ u _n ≤ 1

En déduire que la suite (u _n ) _n∈ _N converge. On note γ sa limite (constante d'Euler).

3. a. Étudier, sur l'intervalle [k, k + 1] ( k ∈ N ^∗ ), le signe de la fonction f k dénie par f k (x) = 1

k + ( 1 k + 1 − 1

k )(x − k) − 1 x

b. En considérant une fonction F k telle que F _k ⁰ = f k , en déduire l'encadrement

1 k + 1 ≤ ln k + 1 k ≤ 1

2 ( 1 k + 1

k + 1 )

4. Prouver que 1

2 ≤ γ ≤ 1 .

Partie II

1. On dénit les fonctions g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ par : g ₁ (x) = − 1

x + 1 + ln(1 + 1 x ) − 1

2x ² g ₂ (x) = g ₁ (x) + 2 3x ³ Étudier les variations de g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ et en déduire leur signe.

2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 : 1 2n ² − 2

3n ³ ≤ u _n − u _n+1 ≤ 1 2n ² 3. Dans cette question n ≥ 2 et p ≥ n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0505E

(2)

MPSI B DS 5 5 janvier 2020

a. En utilisant l'inégalité des accroissements nis appliqué à la fonction x → _x ¹ entre k et k + 1 ( k entier), former un encadrement de

p

X

k=n

1 k ²

b. Former par une méthode analogue à celle de la question a. un encadrement de

p

X

k=n

1 k ³

c. En déduire

1 2n − 1

3(n − 1) ² ≤ u n − γ ≤ 1 2(n − 1)

4. Donner une valeur de l'entier n telle que l'encadrement précédent permette, à partir de u n , de déterminer γ à moins de 10 ⁻² près.

Problème II.

L'objet de ce problème est l'étude des suites dénies par une valeur initiale x 0 et

∀n ∈ N , x _n+1 = f _µ (x _n ) où f _µ (appelée fonction logistique) est dénie par :

∀x ∈ R , f µ (x) = µx(1 − x).

Le paramètre µ est strictement positif, on pose aussi c µ = ^µ−1 _µ . On dira qu'un intervalle I de R est stable lorsque :

x ∈ I ⇒ f µ (x) ∈ I.

On demande plusieurs fois d'étudier (x n ) n∈ N en discutant suivant x 0 . Il s'agit de former une liste d'intervalles et de décrire le comportement de la suite lorsque x 0 est dans chacun des intervalles listés. On devra justier ces descriptions.

Partie I

1. Quels sont les points xes de f _µ ?

2. Former le tableau de variation de f µ , préciser le maximum absolu et la valeur de la fonction en ce point.

3. Calculer f _µ ⁰ (0) et f _µ ⁰ (c _µ ) . Comparer suivant la valeur de µ ces valeurs avec −1 et +1 . Que peut-on en déduire ?

4. Pour quelles valeurs de µ l'intervalle [0, 1] est-il stable ?

5. Les quatre gures 2, 3, 4, 5 présentent les graphes de f _µ pour quatre valeurs de µ parmi 0.7 , 1.7 , 2.7 , 4.7 . Indiquer sur la feuille au dessous de chaque dessin le µ correspondant et placer le c _µ sur l'axe des abscisses.

Partie II

Dans cette partie, lorsque µ > 2 , on notera S µ = [ ¹ ₂ , ^µ ₄ ] et K µ = max S

_µ

|f _µ ⁰ | . 1. a. En calculant d'abors la valeur pour µ = 2 , factoriser f _µ ( ^µ ₄ ) − ¹ ₂ .

b. Factoriser f _µ ⁰ ( ^µ ₄ ) + 1 .

2. Cas µ ∈ ]0, 1[ . Étudier (x _n ) _n∈ _N en discutant suivant x ₀ . 3. Cas µ ∈ ]1, 2[ . Étudier (x n ) _n∈N en discutant suivant x 0 . 4. Montrer que µ ∈

2, 1 + √ 5

entraîne S µ stable.

5. On suppose ici que µ ∈

2, 1 + √ 3

.

a. Montrer que S _µ est stable et que K _µ < 1 . b. Montrer que x 0 ∈ S µ entraîne

∀n ∈ N , |x _n − c _µ | ≤ K _µ ⁿ |x ₀ − c _µ |.

c. Montrer que si x 0 ∈ 0, ¹ ₂

, il existe k ∈ N tel que x k ∈ S µ . Que peut-on en déduire ?

Partie III. Vers un ensemble de Cantor

On se place cette fois dans le cas µ > 2 + √

5 . Pour tout entier n , f _µ ⁿ désigne la composée de f µ par elle même n fois. Voir gure 1 par exemple. On note aussi :

Λ n = {x ∈ R , f _µ ⁿ (x) ∈ [0, 1]} Λ = \

n∈N

Λ n .

( f _µ ⁰ désigne l'identité de R.)

2

(3)

MPSI B DS 5 5 janvier 2020

1 1

0 −1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

0.2 0.4 0.6 0.8

Fig. 1: µ = 4.73 : f µ ◦ f µ ◦ f µ

1. Préciser les u ∈ [0, 1] tel que f _µ (u) = 1 . En déduire Λ ₁ .

2. L'intervalle [0, 1] est-il stable ? Pour quels x ₀ la suite (x _n ) _n∈ _N prend-elle toutes ses valeurs dans [0, 1] .

3. Montrer que si f _µ (u) = 1 alors |f _µ ⁰ (u)| > 1 . 4. Soit λ = inf _Λ

₁

|f _µ ⁰ | . Montrer que λ > 1 .

5. Montrer que Λ _n+1 ⊂ Λ _n . Montrer que Λ _n est formé par 2 ⁿ intervalles disjoints.

6. a. Montrer que pour tout x ∈ Λ n :

|(f _µ ⁿ ) ⁰ (x)| ≥ λ ⁿ .

b. Montrer que la longueur de chaque intervalle formant Λ n est inférieure à 1 λ ⁿ⁺¹ .

3

(4)

MPSI B DS 5 5 janvier 2020

0 -0.5 0.5

-0.5

1 1.5 0.5

1 1.5

Fig. 2: Partie I. 5

1.5

1

0.5 -0.5

0

0.5 -0.5

1 1.5

Fig. 3: Partie I. 5

1.5

1

0.5 0 -0.5

-0.5

0.5 1 1.5

Fig. 4: Partie I. 5

0 1.5

1

0.5 -0.5 0.5 1 1.5

-0.5

Fig. 5: Partie I. 5

4

Soit M 0 = (x 0 , y 0 ) et M 1 = (x 1 , y 1 ) . On construit P 0 par les conditions :

MPSI B DS 5 5 janvier 2020

Exercice

Soit A le point (1, 0) et B le point (0, 1) dans le plan R 2 . Avec ces points xés, on forme une opération (notée ∗ ) dans le plan.

Soit M 0 = (x 0 , y 0 ) et M 1 = (x 1 , y 1 ) . On construit P 0 par les conditions :

(P 0 M 0 ) k Ox P 0 ∈ (AB) On construit Q 0 par les conditions :

(P 0 Q 0 ) k (M 1 B) Q 0 ∈ (AM 1 )

On construit le point M 2 = M 0 ∗ M 1 en imposant que M 0 P 0 Q 0 M 2 est un parallélogramme.

1. On note (x 2 , y 2 ) le point M 2 . Calculer les coordonnées de P 0 et Q 0 . Montrer que x 2 = x 0 + x 1 y 0

y 2 = y0y1

2. Montrer que ∗ est associative, admet un élément neutre et que si y 6= 0 , (x, y) admet un inverse.

3. On dénit une suite (M n ) n∈ N par M 0 , M 1 et

M n = M n−1 ∗ M n−2

pour tout entier n ≥ 2 . On pose M n = (x n , y n ) , déterminer y n en fonction de y 0 et y 1 .

Problème I.

Le théorème des accroissements nis intervient à plusieurs reprises dans ce problème.

Vous devrez préciser chaque fois clairement pour quelle fonction et entre quelles bornes vous l'utilisez.

Ce problème a pour objet une étude de la constante d'Euler notée γ . On pose :

∀n ∈ N ∗ , u n =

n

X

k=1

1 k − ln n.

Partie I

1. Prouver pour tout k ∈ N ∗ les inégalités

1

k + 1 ≤ ln k + 1 k ≤ 1

k

2. Montrer que la suite (u n ) n∈N

est décroissante et que pour tout n ∈ N ∗ :

1

n ≤ u n ≤ 1

En déduire que la suite (u n ) n∈ N converge. On note γ sa limite (constante d'Euler).

3. a. Étudier, sur l'intervalle [k, k + 1] ( k ∈ N ∗ ), le signe de la fonction f k dénie par f k (x) = 1

k + ( 1 k + 1 − 1

k )(x − k) − 1 x

b. En considérant une fonction F k telle que F k 0 = f k , en déduire l'encadrement

1

k + 1 ≤ ln k + 1 k ≤ 1

2 ( 1 k + 1

k + 1 )

4. Prouver que 1

2 ≤ γ ≤ 1 .

Partie II

1. On dénit les fonctions g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ par : g 1 (x) = − 1

x + 1 + ln(1 + 1 x ) − 1

2x 2 g 2 (x) = g 1 (x) + 2 3x 3 Étudier les variations de g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ et en déduire leur signe.

2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 : 1 2n 2 − 2

3n 3 ≤ u n − u n+1 ≤ 1 2n 2 3. Dans cette question n ≥ 2 et p ≥ n .

1

MPSI B DS 5 5 janvier 2020

a. En utilisant l'inégalité des accroissements nis appliqué à la fonction x → x 1 entre k et k + 1 ( k entier), former un encadrement de

p

X

k=n

1 k 2

b. Former par une méthode analogue à celle de la question a. un encadrement de

p

X

k=n

1 k 3

c. En déduire

1

2n − 1

3(n − 1) 2 ≤ u n − γ ≤ 1 2(n − 1)

4. Donner une valeur de l'entier n telle que l'encadrement précédent permette, à partir de u n , de déterminer γ à moins de 10 −2 près.

Problème II.

L'objet de ce problème est l'étude des suites dénies par une valeur initiale x 0 et

∀n ∈ N , x n+1 = f µ (x n ) où f µ (appelée fonction logistique) est dénie par :

∀x ∈ R , f µ (x) = µx(1 − x).

Le paramètre µ est strictement positif, on pose aussi c µ = µ−1 µ . On dira qu'un intervalle I de R est stable lorsque :

x ∈ I ⇒ f µ (x) ∈ I.

On demande plusieurs fois d'étudier (x n ) n∈ N en discutant suivant x 0 . Il s'agit de former une liste d'intervalles et de décrire le comportement de la suite lorsque x 0 est dans chacun des intervalles listés. On devra justier ces descriptions.

Partie I

1. Quels sont les points xes de f µ ?

2. Former le tableau de variation de f µ , préciser le maximum absolu et la valeur de la fonction en ce point.

3. Calculer f µ 0 (0) et f µ 0 (c µ ) . Comparer suivant la valeur de µ ces valeurs avec −1 et +1 . Que peut-on en déduire ?

4. Pour quelles valeurs de µ l'intervalle [0, 1] est-il stable ?

5. Les quatre gures 2, 3, 4, 5 présentent les graphes de f µ pour quatre valeurs de µ parmi 0.7 , 1.7 , 2.7 , 4.7 . Indiquer sur la feuille au dessous de chaque dessin le µ correspondant et placer le c µ sur l'axe des abscisses.

Partie II

Soit A le point (1, 0) et B le point (0, 1) dans le plan R ² . Avec ces points xés, on forme une opération (notée ∗ ) dans le plan.

(P ₀ M ₀ ) k Ox P 0 ∈ (AB) On construit Q 0 par les conditions :

(P ₀ Q ₀ ) k (M ₁ B) Q 0 ∈ (AM 1 )

On construit le point M ₂ = M ₀ ∗ M ₁ en imposant que M ₀ P ₀ Q ₀ M ₂ est un parallélogramme.

1. On note (x ₂ , y ₂ ) le point M ₂ . Calculer les coordonnées de P ₀ et Q ₀ . Montrer que x 2 = x 0 + x 1 y 0

3. On dénit une suite (M _n ) _n∈ _N par M ₀ , M ₁ et

M n = M _n−1 ∗ M _n−2

∀n ∈ N ^∗ , u n =

1. Prouver pour tout k ∈ N ^∗ les inégalités

2. Montrer que la suite (u n ) _n∈N

est décroissante et que pour tout n ∈ N ^∗ :

n ≤ u _n ≤ 1

En déduire que la suite (u _n ) _n∈ _N converge. On note γ sa limite (constante d'Euler).

3. a. Étudier, sur l'intervalle [k, k + 1] ( k ∈ N ^∗ ), le signe de la fonction f k dénie par f k (x) = 1

b. En considérant une fonction F k telle que F _k ⁰ = f k , en déduire l'encadrement

1. On dénit les fonctions g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ par : g ₁ (x) = − 1

2x ² g ₂ (x) = g ₁ (x) + 2 3x ³ Étudier les variations de g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ et en déduire leur signe.

2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 : 1 2n ² − 2

3n ³ ≤ u _n − u _n+1 ≤ 1 2n ² 3. Dans cette question n ≥ 2 et p ≥ n .

a. En utilisant l'inégalité des accroissements nis appliqué à la fonction x → _x ¹ entre k et k + 1 ( k entier), former un encadrement de

1 k ²

1 k ³

3(n − 1) ² ≤ u n − γ ≤ 1 2(n − 1)

4. Donner une valeur de l'entier n telle que l'encadrement précédent permette, à partir de u n , de déterminer γ à moins de 10 ⁻² près.

∀n ∈ N , x _n+1 = f _µ (x _n ) où f _µ (appelée fonction logistique) est dénie par :

Le paramètre µ est strictement positif, on pose aussi c µ = ^µ−1 _µ . On dira qu'un intervalle I de R est stable lorsque :

1. Quels sont les points xes de f _µ ?

3. Calculer f _µ ⁰ (0) et f _µ ⁰ (c _µ ) . Comparer suivant la valeur de µ ces valeurs avec −1 et +1 . Que peut-on en déduire ?

5. Les quatre gures 2, 3, 4, 5 présentent les graphes de f _µ pour quatre valeurs de µ parmi 0.7 , 1.7 , 2.7 , 4.7 . Indiquer sur la feuille au dessous de chaque dessin le µ correspondant et placer le c _µ sur l'axe des abscisses.

Dans cette partie, lorsque µ > 2 , on notera S µ = [ ¹ ₂ , ^µ ₄ ] et K µ = max S

|f _µ ⁰ | . 1. a. En calculant d'abors la valeur pour µ = 2 , factoriser f _µ ( ^µ ₄ ) − ¹ ₂ .

b. Factoriser f _µ ⁰ ( ^µ ₄ ) + 1 .

2. Cas µ ∈ ]0, 1[ . Étudier (x _n ) _n∈ _N en discutant suivant x ₀ . 3. Cas µ ∈ ]1, 2[ . Étudier (x n ) _n∈N en discutant suivant x 0 . 4. Montrer que µ ∈

a. Montrer que S _µ est stable et que K _µ < 1 . b. Montrer que x 0 ∈ S µ entraîne

∀n ∈ N , |x _n − c _µ | ≤ K _µ ⁿ |x ₀ − c _µ |.

c. Montrer que si x 0 ∈ 0, ¹ ₂

5 . Pour tout entier n , f _µ ⁿ désigne la composée de f µ par elle même n fois. Voir gure 1 par exemple. On note aussi :

Λ n = {x ∈ R , f _µ ⁿ (x) ∈ [0, 1]} Λ = \

( f _µ ⁰ désigne l'identité de R.)

1. Préciser les u ∈ [0, 1] tel que f _µ (u) = 1 . En déduire Λ ₁ .

2. L'intervalle [0, 1] est-il stable ? Pour quels x ₀ la suite (x _n ) _n∈ _N prend-elle toutes ses valeurs dans [0, 1] .

3. Montrer que si f _µ (u) = 1 alors |f _µ ⁰ (u)| > 1 . 4. Soit λ = inf _Λ

|f _µ ⁰ | . Montrer que λ > 1 .

5. Montrer que Λ _n+1 ⊂ Λ _n . Montrer que Λ _n est formé par 2 ⁿ intervalles disjoints.

|(f _µ ⁿ ) ⁰ (x)| ≥ λ ⁿ .

b. Montrer que la longueur de chaque intervalle formant Λ n est inférieure à 1 λ ⁿ⁺¹ .