n M n M n n [0 , 1] [0 , 1] | U − V | 1 / 3 1 / 18 | U − V | { ( u,v ) ∈ [0 , 1] × [0 , 1] / | u − v |≤ x } x [0 , 1] ( U,V ) [0 , 1] × [0 , 1] n =100 p =0 . 001 p n

Probabilités etStatistiques

Examen du15déembre2011 (14h-18h)

Exerie 1

Unmessageomposéden^{symbolesbinaires'0'ou'1'.Lorsdesa}transmissionà undestinataire,haquesymboleestperturbéavelaprobabilitép^{etsetransforme}

alorsen symboleopposé. Onfait l'hypothèse queles erreursde transmissionsont

indépendantes.

1)Envoisimple.Onenvoielemessageunefoisàsondestinataire.Déterminerla

probabilitépourquelemessagereçuneoïnidepasavelemessaged'origine.

2)Envoi doublé.Parpréaution,onhoisitd'envoyerlemêmemessagedeuxfois.

a)Avequelleprobabilitélei-ièmesymboledupremiermessagereçuest-iliden-

tiqueaui-ièmesymboledudeuxièmemessagereçu?

b)Avequelleprobabilitélesdeuxmessagesreçussont-ilsidentiques?

)Sahantquelesdeuxmessagesreçussontidentiques,déterminerlaprobabilité

pourquelemessagereçuneoïnidepasavelemessaged'origine.

d) On suppose n= 100^et p = 0.001^{. Quevalent les}probabilitéstrouvéesaux questions1et2.?Commenter.

Exerie 2

1.Ononsidèreunpointaléatoire(U, V)^{deloiuniformesurlearré}[0,1]×[0,1]^.

a)Pourx^hoisiarbitrairementdans[0,1]^,représentergraphiquementl'ensemble:

{(u, v)∈[0,1]×[0,1]/ |u−v|≤x}^.

b)Déterminerladensitéde|U −V |^.

)Montrerque|U−V |^{apourespérane}1/3^{etpourvariane}1/18^.

2.Une expériene onsisteàtirer deux points dusegment[0,1]^{demanière in-}

dépendantesuivantlaloiuniformesur[0,1]^{,puisàreleverlalongueurdusegment}

déterminépares deuxpoints.

Onrépèteplusieursfoisetteexpériene.Ahaqueétapen^{,onalulelamoyenne}

arithmétiqueMn ^{deslongueursdes}n^{premierssegmentsobtenus.}

a) Le théorème entral-limite apporte-t-il des renseignements sur la suite des

variablesaléatoiresMn^?

b) A l'aided'un tableur, unélève aengendré 1000segmentset obtenu omme

valeur moyenne de leurs longueurs 0.3398 . Au vu de e résultat, le professeur

doit-ilsuspeteruneerreurdeprogrammation?(Onargumenterasoigneusementla

réponse.)

Exerie 3

On onsidère la haîne de Markov (Xn)n∈N ^{sur l'ensemble d'états} {1,2,3} ^et

dontlamatriedetransitionest

P=







0 1 0

1−a 0 a

a 1−a 0







ave0≤a≤1^.

1) Déterminer pour quellesvaleurs de a ^{la haîne est} irrédutible. Déterminer alorssapériode.

2)Onsupposedansettequestion0< a <1^.

Sahantqu'àl'instantinitial,lahaîneestdansl'état1^,lasuitedesdistributions de probabilités(P(Xn = 1)P(Xn = 2)P(Xn = 3) )n∈N ^{est-elle onvergente? Si}

oui,endéterminerlalimite.

2)Peut-ontrouverunevaleurdea(0≤a≤1)^{pourlaquellelestroispropriétés}

suivantessontrempliessimultanément:

-lahaîneestirrédutible,

- la haîne possède une et une seule distribution de probabilité invariante

π= (π1 π2 π3)^,

- sahant qu'à l'instant initial, la haîne est dans l'état 1^{, la suite} (P(Xn= 1) P(Xn = 2)P(Xn= 3) )n∈N^{n'estpasonvergente?}

Problème

Toutes lesvariables aléatoires qui apparaissent dansle problème sont supposées

déniessurunmêmeespaede probabilité (Ω,A, P)^.

On onsidère dans tout le problème une variable aléatoire X ^{de fontion de}

répartitionFX ^{etadmettantunedensité}fX^.

Onappellemédiane théorique deX ^{unesolutiondel'équation}FX(x) = 1/2 ^.

Pourn^dansN^∗,ononsidèreunéhantillonX1, X2, ..., Xn^{devariablesaléatoires}

indépendantes de même loi que X ^{, et} X = (Pn

i=1Xi)/n ^{désigne la moyenne}

empiriquede l'éhantillon.

On admet l'existene de variables aléatoires Y1, Y2, ..., Yn ^{telles que, quel que}

soit ω ^dans Ω^, Y1(ω), Y2(ω), ..., Yn(ω) ^{onstituent un} réarrangement roissant de

X1(ω), X2(ω), ..., Xn(ω)^{, de telle sorte que quel que soit} ω ^dans Ω^, Y1(ω)≤Y2(ω)≤...≤Yn(ω)^.

Enpartiulier,Y1= min(X1, X2, ..., Xn)^etYn= max(X1, X2, ..., Xn)^.

Sin^{estimpair,etsionpose}n= 2l+ 1^{,lavariablealéatoire}Yl+1 ^{estappeléela}

médiane empiriquede l'éhantillon X1, X2, ..., Xn^.

I.Pourtout réelx^{et toutentier}k ^telque1≤k≤n^{, onnote}Jk(x)^lavariable

aléatoiredéniepar

Jk(x) =

( 1 si {Xk≤x} 0 si {Xk> x}

etonposeCn(x) =Pn

k=1Jk(x)^.

1.a)MontrerqueY1^etYn^{ontpourdensitésrespetiveslesfontions}fY₁ ^etfYn^,

déniespourtout réelx^par

fY₁(x) =n(1−FX(x))ⁿ⁻¹fX(x) fYn(x) =n(FX(x))ⁿ⁻¹fX(x)

b)QuelleestlaloideprobabilitédeCn(x)^?

)Justierl'égalité{Yk≤x}={Cn(x)≥k}^.

d)Montrerquepourtout k^telque1≤k≤n^{ettout réel}x^, FYk(x) =

n

X

j=k

n j

!

(FX(x))^j(1−FX(x))^n−j

e)Montrerquepourj ^{entieromprisentre}1 ^etn^,

j n

j

!

= (n−j+ 1) n j−1

!

f)MontrerquefYk ^{estdénie par}

fYk(x) =k n k

!

(FX(x))^k−1(1−FX(x))^n−kfX(x)

g)MontrerquesiX^{admetuneespérane,alorspourtout}k^telque1≤k≤n^,Yk

admetuneespérane,etquesiX ^{admetunevariane,alors}Yk ^{admetunevariane.}

II.Dansettedeuxièmepartie,onsupposequelafontionderépartitionFX ^est

déniepar

FX(x) =





 1− 1

√x si x≥1 0 si x <1

1.a) Représenter legraphe deFX^{. Justierque} X ^{est une variablealéatoire à}

densité.CalulerladensitéfX^.

b)LavariablealéatoireX ^{a-t-elleuneespérane?A-t-elleunevariane?}

)Montrerl'existeneet l'uniitédelamédianethéoriquedeX ^etlaaluler.

d)Pourk^telque1≤k≤n^,expliiterfYk^{,etendéduireunéquivalentde}fYk(x)

lorsquex^tendvers+∞^.

2.Onsupposedansettequestionn≥3^.

a)Montrerquepourtoutk^telque1≤k≤n−2^,Yk ^{admetuneespérane.}

b)Enutilisantlehangementdevariablet= 1/√x^{,montrerquepourtout}k^tel

que1≤k≤n−2^,

E(Yk) =k n k

!Z 1 0

t^n−k−2(1−t)^k−1dt

)Onadmetquepourtout oupled'entierspositifsounuls(r, s)^, Z 1

0

t^r(1−t)^sdt= r!s!

(r+s+ 1)!

Endéduire l'expressiondeE(Yk)^pourk^telque1≤k≤n−2^.

3.On suppose dans ette questionn ^{impair et supérieurou égal à}5^{. Onpose} n= 2l+ 1^.

a)Etablirl'égalitéE(Yl+1) = 4 + 6 l−1^.

b) On suppose de plus n ≥ 9^{. Justier l'existene de la variane de} Yl+1^{. On}

admetsavaleur:

var(Yl+1) =4(2l+ 1)(l+ 1)(4l−7) (l−1)²(l−2)(l−3)

b) On suppose dans ette question l = 100^{. Utiliser} l'inégalité de Bienaymé- Thébythevpourdéterminerunintervalleborné I^telqueP(Yl+1 ∈I)≥0.90^.

III.Dansettepartie,onsupposequelaloideX ^{estnormale,d'espérane}µ^et

devariane1^.

1)Justierl'existeneetl'uniitédelamédianethéoriquemX^deX^{,etl'exprimer}

enfontiondeµ^.

2) Pourn ^dansN, on pose k(n) =l+ 1^{, où}l ^{désignelapartie entièrede} n/2^.

Onadmetquelasuite

r2n

π (Yk(n)−mX)^{onvergeenloiverslaloinormaleen-}

tréeréduiteN(0,1)^{.Utilisererésultatpourdéterminerunintervalledeonane}

asymptotiquepourlamédianethéoriquedeX ^{auniveaudeonanede}0.95^.

3)Ononsidèrel'estimateurX ^deµ^.

a)Quelleestsaloi?

b) Utiliseret estimateur pourdéterminerun intervalle de onanepourmX

auniveaudeonanede0.95^.