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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Théorèmes de convergence sur les suites

1/ Théorèmes de comparaison.

Hypothèse 1

Inégalité valable à partir d’un certain rang

Hypothèse 2 Comportement en +∞

Conclusion

unvn lim

n→+∞un = +∞ lim

n→+∞vn = +∞

vnun lim

n→+∞un =−∞ lim

n→+∞vn =−∞

unvnwn lim

n→+∞un= lim

n→+∞wn =l lim

n→+∞vn =l

Démonstration du premier théorème (ROC) : reprendre la démonstration du théorème équivalent sur les fonctions, faire un schéma.

On rappelle la définition : la suite

( )

un admet +∞ pour limite quand n tend vers +∞, si tout intervalle ouvert du type

]

A;+∞

[

, avec A aussi grand que l’on veut, contient toutes les valeurs de un à partir d’un certain rang N.

2/ Rappel : comportement des suites géométriques.

Lemme :

(

1+a

)

n 1+na pour a réel positif et n entier naturel Démo : par récurrence

Théorème : Soit

( )

un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 positif.

Si q > 1 alors

( )

un diverge vers +∞ ;

Si q = 1 alors

( )

un est constante et converge vers u0; Si -1 < q < 1 alors

( )

un converge vers 0 ;

Si q = -1 alors

( )

un diverge, en alternant entre u0 et −u0;

Si q < -1 alors

( )

un diverge (en allant alternativement vers +∞ et -∞) ; Démonstrations : déjà faites, la 1ère est une ROC

3/ Convergence des suites monotones.

Théorème : Si une suite

( )

un est croissante et admet L pour limite, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à L.

Démonstration : par l’absurde. Supposons qu’il existe n0 tel que un0 >L (le contraire de la conclusion unL). Comme la suite admet L pour limite, l’intervalle L−1;un

⎤⎦ 0⎡⎣, qui est un intervalle ouvert contenant L, doit donc contenir tous les termes de la suite à partir d’un certain rang N.

Mais comme la suite est croissante, tous les termes tels que nn0 vérifient unun0 , et donc n’appartiennent pas à L−1;un

⎤⎦ 0⎡⎣. Absurde.

(2)

Théorème : toute suite croissante majorée converge.

Remarques :

• Théorème admis.

• De manière équivalente, toute suite décroissante minorée converge.

• Dans ce paragraphe, seul ce théorème est exigible en théorie. Dans les faits, les autres peuvent être utiles pour certains sujets du bac.

Théorème : une suite croissante non majorée admet +∞ pour limite.

Remarque : de même, une suite décroissante non minorée admet -∞ pour limite.

Démonstration : Soit A un réel quelconque, aussi grand que l’on veut. Dire que

( )

un est non majorée, cela signifie que un « dépasse » A pour un certain rang N (sinon

( )

un serait majorée par A). Comme de plus

un

( )

est croissante, on a unuN pour n ≥ N. Donc tous les termes de la suite

( )

un sont dans l’intervalle A;+∞

] [

à partir de N, CQFD (faire le schéma).

Remarque :

• pour vous entrainer, vous pouvez prouver le théorème : Toute suite convergente est bornée.

• La démonstration se fait par disjonction des cas :

o D’une part l’intervalle

]

l−1;l+1

[

contient tous les termes à partir d’un rang N (pourquoi ?) o et les premiers termes sont bornés par leur min et max.

• D’où la contraposée à écrire :

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