PRODUIT SCALAIRE - FEUILLE D’EXERCICES u u u u u u u u v v v v v v v v ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

V

B

V R

B

G

PRODUIT SCALAIRE - FEUILLE D’EXERCICES

Définitions

Exercice 1 :

Dans un repère orthonormé 𝑂; 𝚤, 𝚥 , on considère les points 𝐴(3; −4) et 𝐵(−2; 1).

a) Calculer les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵.

b) Calculer la norme du vecteur 𝐴𝐵 (ou autrement dit, la distance 𝐴𝐵).

Exercice 2 :

Dans chacun des cas suivant, calculer le produit scalaire de u! par v! : 1) || u! ||=1

, || v! ||=3 _{et [2 ]} ) 3

,

(u! v! =-p p 3) || u! ||=4

, 3

|| 2

|| v! = et [2 ]

) 6 ,

(u! v! =-p p 2) || u!||=8

, || v!||= 3 et [2 ] 4 ) 3 ,

(u! v! = p p 4) || u! ||=5

, 2

|| 1

|| v! = et [2 ]

) 3 ,

(u! v! = p p

Exercice 3 :

On considère trois points du plan A, B et C. Dans chacun des cas suivants, calculer cos(AB,AC) et déterminer la mesure principale en radians de l’angle (AB,AC).

1) || AB||=4, || AC||=8 et AB×AC=32 2) ||AB||= 2, || AC||=2 2 et AB×AC=-2 3 Exercice 4 :

On considère un carré ABCD de côté 4. Déterminer BA×BC, AB×CD et AB×AC. Exercice 5 :

Dans chacun des cas suivants, calculer le produit scalaire de u! par v!. 1) u!(2 ; −1) et v!(3 ; 6) 3) u! ÷

ø ç ö

èæ- 2

; 1

1 et v!(3 ; 2) 5) u!(−3 ; 3) et v! ÷ ø ç ö

èæ- ;5 3 2 2) u!(4 ; −1) et v!(3 ; −5) 4) u!(−1 ; 0) et v!(−3 ; 1) 6) u!(2 ; −6) et v! ÷

ø ç ö

èæ- 2 ;1 4 1

Exercice 6 :

On considère trois points A, B et C de coordonnées respectives ÷ ø ç ö

è æ ;-3

3

2 , (0 ; 4) et (−4 ; −3).

Calculer : AB×AC ; BA×BC et CA×CB. Exercice 7 :

On considère IJKLMN, un hexagone régulier de centre O et de côté 3.

On rappelle que les triangles formés par O et deux sommets consécutifs sont équilatéraux. Déterminer les produits scalaires suivants :

NO

NM × OM ×OK NM ×ML LI×LK OJ

IN× OM×IJ JM×KN IJ×ML

Ti2D / Produit scalaire Format Cours – Produit scalaire

(de 00 :10 à 02 :40)

R R

G

Orthogonalité

Exercice 8 : Droites perpendiculaires.

Dans un repère orthonormé, soient les points 𝐴 5; 3 , 𝐵(8; −5), 𝐶(−1; 0) et 𝐷(3; 1,5).

Montrer que les droites (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) sont perpendiculaires.

Exercice 9 : question de QCM (BAC)

On donne dans un repère orthonormé les points 𝐴 0; 2 , 𝐵(1; 3), 𝐶(1; 3) et 𝐷(−1; 0).

Alors le produit scalaire 𝐴𝐵. 𝐶𝐷 est égal à :

a. 𝐴𝐵. 𝐶𝐷 = 0 b. 𝐴𝐵. 𝐶𝐷 = 0 c. 𝐴𝐵. 𝐶𝐷 = −5 d. 𝐴𝐵. 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷

Exercice 10 :

1) Dans les cas suivants, vérifier si les vecteurs u! et v! sont orthogonaux : a) u!(−1 ; 3) et v!(3 ; −1) b) u!(2 ; 4) et v!(−6 ; 3)

2) Dans les cas suivants, vérifier si les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires : a) A(2 ; −3), B(−1 ; −1), C(5 ; −3) et D(2 ; 1)

b) A(−1 ; −2), B(−2 ; −4), C(7 ; −1) et D(3 ; 1)

3) Dans les cas suivants, déterminer la valeur de a pour que les vecteurs u! et v! soient orthogonaux : a) u!(−5 ; 4) et v!(1 ; a) b) u!(2 ; a + 1) et v!(a + 5 ; 3) c) u!(a ; −3 + a) et v!(2 ; a) Exercice 11 :

On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 et AD = 4.

Calculer : AB×AC ; AB×AD ; AB×BD et CB×BD.

Ti2D / Produit scalaire Droites

perpendiculaires