14 2 x + 1 v − u u = 1 u v = = 1 2 ⎧⎨⎪⎩⎪ ⎧⎨⎩ ⎧⎨⎩ 14 ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ v f ( x ) − = u = S = u u = 712 + 2 n − 6 ∑ x + 1 ( v + 1)( u + 1) 12 u v = = f f ( ( v u ) ) u = u + n − 1

exercice  1  (14  points)  

Soit  f  la  fonction  définie  sur  [0  ;  2]  par   f(x)= 2x+1 x+1  

1.  Etudier  les  variations  de  f  sur  [0  ;  2].  Montrer  que  si  x  ∈  [1  ;  2]  alors  f(x)  ∈  [1  ;  2]  

2.  (un)  et  (vn)  sont  définies  par   ^{u0 =1} u_n+1 = f(u_n)

⎧⎨

⎩      et    par     ^{v0 =2}

v_n+1 = f(v_n)

⎧⎨

⎩  

       a.  A  l’aide  du  graphique  représentant  la  fonction  f,  donné  en  annexe,  construire  sur                    l’axe  des  abscisses  les  trois  premiers  termes  de  chacune  des  suites  (un),  (vn)  .  

               Que  peut-­‐on  conjecturer  concernant  le  sens  de  variation  et  la  convergence  des  suites                  (un)  et  (vn)  ?    

       b.  Montrer  à  l’aide  d’un  raisonnement  par  récurrence  que  :                       -­‐  Pour  tout  entier  naturel  n  ,  1  ≤  vn  ≤  2  

                  -­‐  Pour  tout  entier  naturel  n  ,  vn+1  ≤  vn  

               On  admettra  que  l’on  peut  démontrer  de  la  même  façon  que  :                     -­‐  Pour  tout  entier  naturel  n  ,  1  ≤  un  ≤  2  

                  -­‐  Pour  tout  entier  naturel  n  ,  un  ≤  un+1      

       c.  Montrer  que  pour  tout  entier  naturel  n,  v_n+1−u_n+1 = v_n −u_n (v_n +1)(u_n +1)                  En  déduire  que  pour  tout  naturel  n,  vn  –  un  ≥  0      et        vn+1  –  un+1  ≤  1

4(vn  –  un)    

       d.  Montrer  que  pour  tout  entier  naturel  n,  vn  –  un  ≤   1 4

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

       e.  Montrer  que  les  suites  (un)  et  (vn)  convergent  vers  un  même  réel  a.    

               Déterminer  la  valeur  exacte  de  a.  

exercice  2  (6  points)  

u₀ =1

⎧⎪

Annexe  :  courbe  représentative  de  f  de  l’exercice  1    

correction    exercice  1    

Soit  f  la  fonction  définie  sur  [0  ;  2]  par   f(x)= 2x+1 x+1   1.  f  est  dérivable  sur  [0  ;  2]  et   f'(x)= 2(x+1)−(2x+1)

(x+1)² = 1 (x+1)²          f  est  strictement  croissante  sur  [0  ;  2]  ,  f(1)  =    3

2et  f(2)  =  5 3          donc  1  ≤  x  ≤  2  ⇒  3

2  ≤  f(x)  ≤  5

3  donc  1  ≤  f(x)  ≤  2      

2.  a.  Le  graphique  semble  indiquer  que  (un)  est  croissante  ,  (vn)  décroissante                    toutes  deux  de  limite  environ  1,6  

       b.  P(n)  =  “    1  ≤  vn  ≤  2  “  

c.  v_n+1−u_n+1 = 2v_n +1

v_n+1 −2u_n+1

u_n +1 = (2v_n+1)(u_n+1)−(2u_n +1)(v_n +1)

(v_n+1)(u_n +1) = v_n −u_n (v_n +1)(u_n +1)            P(n)  =  “  vn  –  un  ≥  0  “    

         P(0)  est  vraie    

         Supposons  que  P(n)  est  vraie  pour  un  certain  entier  n  ,  alors  la  relation  précédente              montre  de  façon  évidente  que  P(n+1)  est  vraie  

           vn  ≥  1  et  un  ≥  1  ⇒  (vn  +  1)(un  +  1)  ≥  4                                                                                    ⇒ 1

(v_n+1)(u_n+1)≤ 1

4 ⇒ v_n−u_n

(v_n+1)(u_n+1) ≤ 1

4(v_n−u_n)                                                                                                                                                          ⇒  vn+1  –  un+1  ≤  1

4(vn  –  un)              

       d.  P(n)  =  “vn  –  un  ≤   1 4

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

“                  P(0)  est  vraie  ,  car  v0  –  u0  =  1                    Supposons  P(n)  vraie  ,  vn  –  un  ≤   1

4

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

                   Alors  vn+1  –  un+1  ≤  1

4(vn  –  un)  ≤    1 4

1 4

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

 ≤   1 4

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n+1

 et  P(n+1)  est  vraie    

e.  0  ≤  vn  –  un  ≤   1 4

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

           (vn  –  un)  est  une  suite  encadrée  par  deux  suites  de  limites  nulles                    donc  d’après  le  théorème  des  gendarmes  ,  lim  (vn  –  un)  =  0  

         (un)  est  croissante  et  (vn)  est  décroissante  ,  donc  les  deux  suites  sont  adjacentes,  donc              convergentes  de  même  limite  a.  Or  lim  un+1  =  lim  un  =  a  ,  donc  

                                                                   u_n+1= 2u_n +1

u_n +1 ⇒a= 2a+1 a+1  

         Pour  tout  n  ,  un  ≥  0  ,  donc    a  ≥  0  ,  et  a  vérifie  a²  –  a  –  1  =  0  ,  donc                                                                                                              a=1+ 5

2                  (seule  solution  positive  de  l’équation)    

La  suite  (un)  est  définie  par  

u₀ =1 u_n+1= 1

2u_n +n−1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

  1.  a.  u1  =  −1

2  ,  u2  =  −1

4 ,  u3  =  7 8                    P(n)  :  «  un  ≥  0  »  P(3)  est  vraie  

                 Supposons  P(n)  vraie  pour  un  certain  entier  n  ≥  3    

                 un  ≥  0  ,  n  ≥  3  ,  donc  n  –  1  ≥  0  ,  donc  un+1  ≥  0  et  P(n+1)  est  vraie    

       b.  u4  =  2+ 7 16 ≥2                  P(n)  :  «  un  ≥  n  –  2  »                  P(4)  est  vraie    

               Supposons    P(n)  vraie  pour  un  certain  n  donné  ,    soit  un  ≥  n  –  2                  un+1  –  (n  –  1)  =    1

2u_n ≥0  ,  donc  un+1  ≥  n  –  1  =  (n+1)  –  2        et  P(n+1)  est  vraie          

       c.    lim  (n  –  2)  =  +∞  et  un  ≥  n  –  2  pour  tout  n  ≥  4  ,  donc  lim  un  =  +∞  

2.  a.  P(n)  :  “u_n =7 1 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

+2n−6  “                    P(0)  est  vraie  

                   Supposons  P(n)  vraie  ,  alors  u_n =7 1 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

+2n−6                      u_n+1= 1

2u_n+(n−1)= 1 2 7 1

2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

+2n−6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +n−1=7 1 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n+1

+n−3+n−1                      

                   u_n+1= 7 1 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n+1

+2n−4=7 1 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n+1

+2(n+1)−6                      donc  P(n+1)  est  vraie  

         d.    un  =  xn  +  yn    avec  (xn)  suite  géométrique  et  (yn)  suite  arithmétique                    u0  +  u1  +  ….  +  un  =  x0  +  x1  +  …  +  xn  +  y0  +  y1  +  …  +  yn    

               x_n =7 1 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

donc  x₀ +x₁+...+x_n =7 1− 1

2ⁿ⁺¹

1 =14 1− 1 2ⁿ⁺¹

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟