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Doc généré n° 1 :
Cours n°4 – Comparaison de suites V) Limites et comparaison de suites
Propriété n°5 :
1. Si (un) et (vn) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n1, vn≥ un, et
lim
n→+∞un=+∞ , alors …...
2. Si (un) et (vn) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n1, vn ≤ un, et
lim
n→+∞un=−∞ , alors …...
Démonstration (exigible) :
Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel A, on a lim
n→+∞un=+∞ . Donc il existe un rang n0 à partir duquel .…..…..…………..……….………….……..………….
De plus, à partir d'un certain rang n1,
...
Donc, choisissons un rang n2 = ...………
Alors …...…
Donc : …...
…
Le 2 se démontre de façon équivalente.
Exemple n°8 :
Soit la suite (vn) définie par vn=2n + 1 + sinn. Déterminer lim
n→+∞vn .
...
...
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...
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...
...
...
...
...
...………….
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Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes » Si (un),(vn) et (wn) sont trois suites telles que, à
partir d'un certain rang n1, unvnwn , et lim
n→+∞un= lim
n→+∞wn=L , alors
…...…..
…...…
....………..
La démonstration utilise le même principe que la démonstration précédente.
Exemple n°9 :
Soit la suite (vn) définie par vn=sinn n .
Déterminer lim
n→+∞vn .
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...…
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...
...…
Propriété n°7
Une suite croissante et majorée …...………...
Une suite …... et minorée …...………..
Démonstration (R.O.C.) : (par l'absurde)
Choisissons une suite(un) croissante et convergente vers un nombre l
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Supposons que(un) ne soit pas ………..
(un) converge vers l :
Il existe n1 tel que,
quelque soit ………., un appartient à l'intervalle ] l – 1; l + 1[. (1)
(un) est non majorée, donc, quelque soit le nombre réel A choisi, il existe au moins un n0 tel que, un0 est ...…
Choisissons A = l+2: un0… ……….(2)
Deux cas :
Si le rang n0 > n1 :
D'après (1): un0appartient aussi à ……….., donc un0 <……
D'après (2) : un0> ……….
C
' e s t c o n t r a d i c t o i r e ! Donc notre supposition est ………...
Donc (un ) est ………
Si le rang n0 < n1, (2) donne un0… ………. et (1) implique que un1… ……….. Donc un0… un1 (3)
Mais (un ) est ………. C'est contradictoire ! Donc notre supposition est
……… Donc (un ) est ………
Exemple n°10
Soit la suite (Sn) définie par :
Sn =∑
k=1 k=n
1 k2 .
1. Démontrer que (Sn) est croissante.
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2. Démontrer que, pour tout n entier naturel, Sn < 2 – 1 n .
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...…..……..….….….….…...….….….…...….….….…....….….…..…...….….….….….…...…..
3. En déduire que (Sn) est convergente.
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...………..
Se Tester C1.4 (sur 6)
Objectifs :
1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.
Niveau 1 2 3 4
C1.d 1 Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur les
suites
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°1
Donner les forme indéterminées des limites de suites (le nombre de lignes du tableau n’ indique pas le nombre de formes indéterminées) :
limn→∞ un Opération lim
n→∞ vn
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Fin du savoir n°1
Ex.1 (/3) :
Soit la suite (vn) définie par vn=5n+1+sinn
4 . Déterminer lim
n→+∞vn . Ex.2 (/3) :
Soit la suite (vn) définie par vn=2 sinn
6n . Déterminer lim
n→+∞vn .
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Indices et résultats
Ex.1 : + ∞ . Ex.2 : 0.
Interrogation n°4 Objectifs
C1.d_Niv1 :Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur les suites
Exercice n°10*
Ex.18 p.22 Ex.19 p.22 Exercice n°11*
Ex.71 p.26
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