( v ) v =2 n + 1 + sinn n n n .…..…..…………..……………….………….……..…………. A , . n v  u Si ( u ) ( v ) n v  u 1. Si ( u ) ( v )

(1)

Cours n°4 – Comparaison de suites V) Limites et comparaison de suites

Propriété n°5 :

1. Si (u

n

)

et

(v

n

)

sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang

n

1,

v

n

 u

n, et lim

n→+∞u_n=+∞ , alors …...

2. Si

(u

n

)

et

(v

n

)

sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang

n

1,

v

n

u

n, et lim

n→+∞u_n=−∞ , alors …...

Démonstration (exigible) :

Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel

A,

on a lim

n→+∞u_n=+∞

.

Donc il existe un

rang

n

0à partir duquel

.…..…..…………..……….………….……..………….

De plus, à partir d'un certain rang

n

1,

...

Donc, choisissons un rang

n

2 = ...………

Alors …...…

Donc : …...…

Le 2 se démontre de façon équivalente.

Exemple n°8 :

Soit la suite

(v

n

)

définie par

v

n

=2n + 1 + sinn

. Déterminer lim

n→+∞v_n .

...

...………….

(2)

Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes »

Si

(u

n

), (v

n

)

et

(w

n

)

sont trois suites telles que, à

partir d'un certain rang

n

1,

u

n

v

n

w

n , et lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞w_n=L , alors

…...…..

…...…

....………..

La démonstration utilise le même principe que la démonstration précédente.

Exemple n°9 :

Soit la suite

(v

n

)

définie par v_n=

sin

ⁿ

n . Déterminer

lim

n→+∞v_n .

...

...…

...

...…

Propriété n°7

Une suite croissante et majorée …...………...

Une suite …... et minorée …...………..

Démonstration (R.O.C.) : (par l'absurde)

Choisissons une suite(u_n) croissante et convergente vers un nombre l Supposons que(u_n) ne soit pas majorée.

(3)

(u_n) converge vers l: Il existe

n

1 tel que,

quelque soit ……….,

u

n appartient à l'intervalle

]

l

– 1;

l

+ 1[ .

(1)

(u_n) est non majorée, donc, quelque soit le nombre réel

A

choisi, il existe au moins un

n

0 tel que,

u

n₀ est

...…

Choisissons

A =

l

+2: u

n₀

… ……….

(2) Deux cas :

Si le rang

n

0

> n

1 :

D'après (1):

u

n₀appartient aussi à ……….., donc

u

n₀<……

D'après (2) :

u

n₀

> ……….

C'est contradictoire !

Donc notre supposition est

………..

.

Donc

(

u_n

)

est ………

Si le rang

n

0

< n

1, (2) donne

u

n₀

… ……….

et (1) implique que

u

n₁

… ……….

. Donc

u

n₀

… u

n₁

(3)

Mais

(

u_n

)

est ……….

C'est contradictoire !

Donc notre supposition est

………

Donc

(

u_n

)

est ………

Exemple n°10

Soit la suite

(S

n

)

définie par :

S

n

= ∑

k=1 k=n

1 k²

.

1. Démontrer que

(S

n

)

est croissante.

...

2. Démontrer que, pour tout

n

entier naturel,

S

n

< 2 –

¹_n .

...

(4)

...

...…..……..….….….….…...….….….…...….….….…....….….…..…...….….….….….…...…..

3. En déduire que

(S

n

)

est convergente.

...

...………..

Se Tester C1.4 (sur 6)

Objectifs :

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.

Nivea

u 1 2 3 4

C1.d 1 Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur les

suites Ex.1 (/3) :

Soit la suite (v_n) définie par v_n=–4n+1+

sin

ⁿ

6 . Déterminer lim

n→+∞v_n .

...

(5)

...

Ex.2 (/3) :

Soit la suite (v_n) définie par v_n=6

sin

ⁿ

6n

. Déterminer lim

n→+∞v_n .

...

(6)

Indices et résultats

Ex.1 :

- ∞

. Ex.2 :

0

.

Interrogation n°4 Objectifs

C1.d_Niv1 :Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur les suites

Exercice n°10*

Ex.18 p.22 Ex.19 p.22

Exercice n°11*

Ex.71 p.26

(7)

Indices permettant de savoir si on a juste ou faux.

Remarques importantes :

Ces résultats permettent :

1) De savoir si vous avez juste ou faux. En cas d’erreur, refaites la question. En cas de troisième tentative infructueuse, appelez le professeur.

2) De montrer que ce sont les raisonnements qui importent, pas les solutions ci- dessous. Si vous vous êtes contenté de la même rédaction succincte, c’est que vous n’avez pas fait le travail de réflexion nécessaire pour assimiler les notions.

3) Parfois, vous n’avez pas les mêmes résultats que votre voisin : c’est NORMAL : les documents sont « aléatoirisés » . En revanche, les résultats ci-dessous sont bien justes et en rapport avec vos énoncés. Si vous voulez vous entraider, c’est toujours possible, mais il vous faudra vous expliquer la méthode et non juste fournir des résultats.

Ex.10 : Ex18 : lim

n→+∞u_n=+∞ Ex19:

0

. Ex.11 : 1. lim

n→+∞u_n=+∞ 2. lim

n→+∞u_n=0 3. lim

n→+∞u_n=+∞ 4. lim

n→+∞u_n=−∞

(8)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (3 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Résumé du Cours n° : ...

Se tester du Cours n°..., Ex. n° : … / … / … / … / …

…...