MPSI B Énonce du DM 8 29 juin 2019
L'objet de ce problème est d'exprimer la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres (dénie en partie III) à l'aide d'une intégrale.
On dénit une fonctionφdans[0,1[par :
∀x∈[0,1[, φ(x) = Z π2
0
dθ p1−x2sin2θ
Partie I. Étude de φ.
1. Montrer sans calcul de dérivée queφest croissante sur[0,1[. 2. CalculerRπ2
0 sin2θ dθ.
3. SoitA∈]0,1[. On dénit une fonctionϕpar :
∀u∈[0,1[, ϕ(u) = (1−u)−12 a. Montrer que
∀(u, v)∈[0, A]2, |ϕ(v)−ϕ(u)| ≤ |v−u|
2 (1−A)−32 b. Montrer que
∀(x, y)∈[0, A]2, |φ(y)−φ(x)| ≤ π
4(1−A)−32A|y−x|
4. Montrer queφest continue dans[0,1[.
Partie II. Changement de variable.
1. Pourx∈[0,1], on dénit des fonctionsvet udans 0,π2
par :
∀t∈h 0,π
2
i, v(t) = (1 +x) sint
1 +xsin2t, u(t) = arcsin (v(t))
Pour alléger l'écriture, on a choisi de ne pas faire apparaitre le paramètre xdans le nom de la fonction.
a. Calculerv0(t)et montrer queuprend ses valeurs dans 0,π2. b. Montrer queu∈ C1(
0,π2
), bijective de 0,π2
vers 0,π2
et queu−1∈ C1( 0,π2
).
c. Montrer que
cosu(t) = cost 1 +xsin2t
p1−x2sin2t
2. En utilisant le changement de variableθ=u(t)dansΦ(x), montrer que
∀x∈[0,1[, φ(x) = 1
1 +xφ(2√ x 1 +x) 3. Soitaet bdeux nombres réels tels que0< b≤a. Montrer que
Z π2
0
dt
pa2cos2t+b2sin2t
= 1 aφ(
√a2−b2
a )
On noteI(a, b)cette valeur commune. Montrer queI(a, b) =I(a+b2 ,√ ab).
Partie III. Moyenne arithmético-géométrique.
On suppose ici0< b < a. On dénit des suites(an)n∈Net(bn)n∈Nen posant a0=a, b0=b an+1=an+bn
2 , bn+1=p anbn
1. Montrer que ces suites sont adjacentes. On noteµla limite commune.
2. Montrer que la convergence est quadratique, c'est à dire 0< an+1−bn+1< 1
8b(an−bn)2 3. Exprimerµà l'aide d'une intégrale (en justiant soigneusement).
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0108E
