Calculer ϕ 0 , ϕ 1 , . . . , ϕ 16 . 2. En utilisant l'expression de

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

1. Soit k ∈ {0, . . . , 16} et ϕ k le nombre d'éléments de

E k = {(i, j) ∈ {0, . . . , 8} ² , i + j = k}

Calculer ϕ 0 , ϕ 1 , . . . , ϕ 16 . 2. En utilisant l'expression de

a = 111 111 111

comme somme de puissances de 10, trouver sans utiliser de machine l'écriture décimale de a ² .

Corrigé

1. Pour k ∈ {0, . . . , 8} , l'ensemble E _k est formé par les couples (i, k − i) avec i entre 0 et k . On en déduit que

ϕ 0 = 1, ϕ 1 = 2, . . . , ϕ 8 = 9

En revanche, lorsque k > 8 , il faut enlever les couples (i, k − i) pour lesquels k − i > 8 c'est à dire i < k − 8 . Seuls subsistent les couples (i, k − i) avec i ∈ {k − 8, . . . , 8} . Il y en a 8 − (k − 8) + 1 = 17 − k d'où

ϕ ₉ = 8, ϕ ₈ = 7, . . . , ϕ ₁₅ = 2, ϕ ₁₆ = 1 2. L'écriture décimale de a permet d'obtenir

a = X

i∈{1,...,8}

10 ⁱ ⇒ a ² =



 X

i∈{1,...,8}

10 ⁱ







 X

j∈{1,...,8}

10 ^j





= X

(i,j)∈{1,...,8}

10 ^i+j = X

k∈{0,...,16}

X

(i,j)∈E

10 ^k = X

k∈{0,...,16}

ϕ k 10 ^k

Les ϕ k étant tous entre 0 et 9, l'écriture décimale de a ² est 12345678987654321

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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