Fig. 1: Graphe de ϕ

MPSI B Corrigé du DM 1 29 juin 2019

Problème 1.

1

−1

−1 1

Fig. 1: Graphe de ϕ

1. Pour former le graphe de ϕ (Figure 1), il est inutile de dériver la fonction. L'écriture ϕ(z) = 1 + z

1 − z = 2 + z − 1

1 − z = − 1 + 2 1 − z

met en évidence les asymptotes et le fait que le graphe est une hyperbole. Pour placer les branches, on considère ϕ(0) = 1 .

2. Pour montrer que la fonction f est une bijection de C−{− 1 } dans C−{ 3 }, on considère l'équation

3z − 5

z + 1 = u d'inconnue z et de paramètre u ∈ C , u 6 = 3.

Cette équation admet une unique solution

ce qui montre que tout u ∈ C, u 6 = 3 admet un unique antécédent par f . L'expression de la solution nous donne cet antécé- dent et donc une expression de la bijection réciproque.

Par dénition d'une implication (contraposition) :

(z / ∈ R ⇒ f (z) ∈ / R ) ⇔ (f(z) ∈ R ⇒ z ∈ R ) . Cette deuxième implication résulte de

f (z) ∈ R ⇒ z = 3f (z) − 5 f (z) + 1 ∈ R .

3. Tranformons la relation proposée : on utilise l'identité donnant | a + b |

, on rassemble les termes, on divise par 1 − k

6 = 0 :

| z − a |

= k

| z − b |

⇔ (1 − k

) | z |

− 2 Re(a − k

b)z + | a |

− k

| b |

= 0

⇔ | z |

− 2 Re a − k

b

1 − k

z = −| a |

+ k

| b |

1 − k

⇔

z − a − k

b 1 − k

2

= −| a |

+ k

| b |

1 − k

+ | a − k

b |

(1 − k

)

Notons T le membre de droite de la dernière relation :

T = 1

(1 − k

)

k

| a |

+ k

| b |

− 2k

Re(ab)

= k

(1 − k

)

| a − b |

On en déduit le u et le R demandés par l'énoncé :

u = 1

1 − k

(a − k

b), R = k

1 − k

| a − b | .

Il apparait alors clairement que l'ensemble des points dont l'axe vérie cette relation est un cercle de centre le point d'axe u et de rayon R .

4. La recherche des points xes de f conduit à l'équation du second degré z

− 2z + 5 = 0

Son discriminant est ∆ = − 16 = (4i)

. On en déduit z

= 1 + 2i , z

= 1 − 2i .

5. Travaillons d'abord sur f (z) − z

en écrivant z

= f (z

) et en réduisant au même dénominateur. On obtient

f (z) − z

= f (z) − f (z

) = 3z − 5

z + 1 − 3z

− 5

z

+ 1 = 8(z − z

) (z + 1)(z

+ 1) Le calcul est analogue pour z

. On en déduit :

f (z) − z

f (z) − z

= (z

+ 1)(z − z

) (z

+ 1)(z − z

) =

1 − i 1 + i

z − z

z − z

6. a. L'ensemble des points est un cercle d'après la question 3.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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b. Le centre du cercle est le point d'axe u de la question 3. Ici cela devient : u = 1

1 − k

(z

− k

z

) = 1

1 − k

(1 − k

+ 2i(1 + k

)) = 1 + 2ϕ(k

)i On cherche les points d'intersections du cercle avec la droite (Z

Z

) sous la forme

z = z

+ λ(z

− z

) avec λ ∈ R La condition d'intersection s'écrit alors simplement en λ :

λ λ−1

= k . Cela conduit à deux équations du premier degré selon que l'on prenne l'intérieur de la valeur absolue égal à k ou à − k .

Pour k , on obtient λ = −

et un point d'intersection d'axe 1 + 2iϕ(k) . Pour − k , on obtient λ =

et un point d'intersection d'axe 1 + 2iϕ( − k) .

On peut remarquer que ϕ( − k) est l'inverse de ϕ(k) .

Z

Z

Z f(Z)

Fig. 2: Cercle de C

7. a. On a vu que

f (z) − z

f (z) − z

=

1 − i 1 + i

z − z

z − z

=

z − z

z − z

Si on note f

la composée de f avec elle même n fois, on a alors :

f

(z) − z

f

(z) − z

=

f

(z) − z

f

(z) − z

= · · · =

z − z

z − z

Ce qui signie que tous les points sont sur C

avec k =

z−z1

z−z1

.

b. Pour z = 1 + i , on trouve k = |

| =

, ϕ(

) = 2 .

On en déduit que les points d'intersections avec (Z

Z

) ont pour coordonnées (1, 1) et (1, 4) . Le centre du cercle C

(Figure 2) est en (1,

) et le rayon est

. De plus f (z) =

.

Problème 2.

1. a. Comme ω est de module 1, son inverse est égal à son conjugué donc ω =

. De plus

ω

= 1 ⇒ 1 ω = ω

.

En remplaçant ω par ω

dans la relation précédente, on obtient ω

= 1

ω

= ω

car ω

= 1.

b. En multipliant par 1 − ω 6 = 0 , on obtient

(1 − ω)(1 + ω + ω

+ ω

+ ω

) = 1 − ω

= 0 ⇒ 1 + ω + ω

+ ω

+ ω

= 0 2. a. D'après la question précédente, α = ω + ω = 2 Re(ω) ∈ R. Comme β = − 1 − α ,

on en déduit que β est aussi réel.

b. Par dénition α + β = − 1 . Exprimons le produit αβ en fonction de α puis de puissances de ω à l'aide de la question 1.a. :

αβ = − α

+ α

= −



ω

+ ω

|{z}

=ω³

+ 2 + ω + ω





= − 1 + ω + ω

+ ω

+ ω

+ 1

= − 1 On va montrer que l'équation (d'inconnue z ) dont α et β sont les deux racines est

z

+ z − 1 = 0 En eet, pour tout z ,

(z − α)(z − β) = z

− (α + β)z + αβ = z

+ z − 1

3. Pour le cercle d'équation x

+ y

+ x − 1 = 0 , les points d'intersection sont faciles à calculer.

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Les points d'intersections avec l'axe Oy ont pour coordonnées (0, 1) et (0, − 1) . Les points d'intersections avec l'axe Ox ont pour coordonnées (α, 0) et (β, 0) . En eet, pour l'intersection avec 0x , on retrouve l'équation de la question précédente.

On obtient le centre et le rayon en écrivant l'équation sous une autre forme x

+ y

+ x − 1 = 0 ⇔ (x + 1

2 )

+ y

= 1 + 1 4 On en déduit que

Le centre est le point de coordonnées ( −

, 0) . Le rayon est

.

4. On suppose dans cette question que ω = e

. On va montrer que les points d'abscisses 2 , α et β sur le cercle de centre O et de rayon 2 sont des sommets d'un pentagone régulier en montrant que leurs axes appartiennent à 2 U

.

Il existe un seul point du cercle dont l'abscisse est 2 , son axe est 2 ∈ 2 U

.

Il existe deux points du cercle dont l'abscisse est α , leurs axes sont 2ω = 2e

, et 2ω

= 2e

(conjuguées et dans 2 U

).

Montrons que β est la partie réelle de ω

= e

. En eet, comme ω

= ω

et 1 + ω + ω

ω

+ ω

= 0

β = − 1 − ω − ω

= − 1 − ω − ω

= ω

+ ω

= 2 Re(ω

) = 2 Re e

Les axes des deux points du cercle d'abscisse β sont donc 2ω

et 2ω

= 2ω

qui sont dans 2 U

.

On peut construire un pentagone régulier à la règle et au compas en utilisant l'algo- rithme suivant.

Construire le point A de coordonnées ( −

, 0) et le point B de coordonnées (0, 1) Construire le cercle C

de centre A et passant par B .

Construire les points d'intersection C , D de C

avec l'axe Ox . Construire le cercle C

de centre 0 et de rayon 2.

Contruire les points E , F , G , H de même abscisse que C , D sur C

Construire le point K de coordonnées (2, 0) Alors (E, F, G, H, K) forme un pentagone régulier.

Le principe étant de commencer par construire le cercle de la question 3 dont les intersections avec l'axe réel sont les abscisses de 4 points du pentagone (dans le cercle centré à l'origine et de rayon 2).

B

K C

G E

H

C

A O

C D

F

Fig. 3: Construction d'un pentagone régulier

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