MPSI B DS 08 29 juin 2019
Exercice I
Soit u l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est :
1 4 6
1 1 3
−1 −2 −4
1. Former une base du noyau et de l'image. Former une équation de l'image. L'image et le noyau sont-ils supplémentaires ?
2. Que vaut u ◦ u ?
3. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de u est :
−1 0 0
0 −1 0
0 0 0
Problème I
L'objet de ce problème est le calcul de la somme des inverses des carrés par la méthode des coecients de Fourier.
1. a. Calculer
Z 1 0
t cos(kπt) dt
Z 1 0
t 2 cos(kπt) dt
b. En déduire qu'il existe un unique couple (a, b) de réels à préciser tel que,
∀k ∈ N ∗ , Z 1
0
(at 2 + bt) cos(kπt)dt = 1 k 2
c. Transformer, pour le couple (a, b) de la question précédente Z 1
0
(at 2 + bt) 1 2 +
n
X
k=1
cos(kπt)
! dt
2. Pour tout n ∈ N ∗ et tout θ ∈]0, π[ , exprimer
1 + 2
n
X
k=1
cos(2kθ)
comme un quotient de deux sinus.
3. Soit f une fonction réelle de classe C 1 sur [0, 1] . Montrer que la fonction
λ → Z 1
0
f(t) sin(λt)dt
converge vers 0 en +∞ .
4. On considère la fonction réelle dénie dans [0, 1] par :
f (t) =
π 2 (t 2 − 2t)
4 sin( π 2 t) si t 6= 0
− π si t = 0
a. Montrer que f est de classe C 1 sur [0, 1] . b. Montrer la convergence de la suite
(
n
X
k=1
1 k 2 ) n∈N
∗ainsi que la valeur de la limite.
Problème II
Les deux parties sont totalement indépendantes.
On ne confondra pas (a, b, c) de R 3 avec sa matrice colonne
a b c
dans la base canonique.
Partie I
Soit u l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est :
A =
2 1 1 1 2 1 0 0 2
1. Discuter suivant le réel λ du rang de la matrice A − λI 3 .
2. Déterminer pour chaque i ∈ {1, 2, 3} le vecteur e i dont la deuxième composante vaut 1 et tel que u(e i ) = ie i . Préciser ker(u − i Id R
3) .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai S0508EMPSI B DS 08 29 juin 2019
3. Justier que (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base de R 3 et écrire la matrice ∆ de u relativement à cette base. Former une relation entre A et ∆ .
4. Soit B ∈ M 3 ( R ) une matrice vériant B 2 = A . On note v l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est B .
a. Justier v 2 = u et u ◦ v = v ◦ u .
b. Pour chaque i ∈ {1, 2, 3} , montrer que v(e i ) ∈ Vect(e i ) .
c. Montrer que la matrice de v dans la base (e 1 , e 2 , e 3 ) est de la forme
λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3
et préciser les valeurs possibles pour les λ i .
5. Former toutes les solutions dans M 3 ( R ) de l'équation X 2 = A .
Partie II
Soit E un R espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E vériant u ◦ u = 0 L(E) .
1. Montrer que rg u ≤ n 2 .
2. Montrer que si rg u = r , il existe une base de E dans laquelle la matrice de u s'écrit
0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 ... ... ...
... ... 0
... 1
0 ...
0 · · · 0
(toutes les cases contiennent 0 sauf r qui contiennent 1).
3. Soit M ∈ M 4 ( R ) de rang 1 et telle que
M 2 = 0 M
4( R )
Montrer qu'il existe des réels (a, b, c, d) 6= (0, 0, 0, 0) et (x, y, z, t) 6= (0, 0, 0, 0) tels que
0 = xa + yb + zc + td, M =
xa ya za ta xb yb zb tb xc yc zc tc xd yd zd td
.
Exercice II
Soit n un entier naturel. On note R n [X] le R-espace vectoriel formé par le polynome nul et les polynomes à coecients réels de degrés inférieurs ou égaux à n .
On dénit un endomorphisme u de R n [X] en posant
u(P) =
n
X
j=0
X j Z 1
0
t j P (t)dt
1. Montrer que si P ∈ ker u alors Z 1
0
P (t)Q(t)dt = 0
pour tout polynome Q dans R n [X ] . Que peut-on en déduire pour ker u ? 2. Former la matrice de u dans la base (1, X, · · · , X n ) . Est-elle inversible ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)