Montrer que ces trois points sont alignés si et seulement si x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 = 0 b

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Espace ane

1. ^(Ega01) Rappel sur les conditions d'alignement ou de concours.

a. Dans un plan muni d'un repère, on considère trois pointsA₁, A₂, A₃ respectivement de coordonnées (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Montrer que ces trois points sont alignés si et seulement si

x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1

= 0

b. Dans un plan, trois points non alignésU,V,W sont xés. On considère trois pointsA1,A2,A3respecti- vement barycentres deU,V,W avec les coecients (x1, y1, z1),(x2, y2, z2),(x3, y3, z3). Montrer que ces trois points sont alignés si et seulement si

x1 y1 z1

x₂ y₂ z₂ x₃ y₃ z₃

= 0

c. Les fonctions coordonnées x et y sont relatives à un repère xé d'un plan. On considère trois droites d'équations







ax+by+c= 0 a⁰x+b⁰y+c⁰= 0 a⁰⁰x+b⁰⁰y+c⁰⁰= 0

Montrer que ces droites sont parallèles ou concourantes si et seulement si

a b c a⁰ b⁰ c⁰ a⁰⁰ b⁰⁰ c⁰⁰

= 0

2. ^(Ega02) Dans un espace ane de dimension n, on consi- dère une famille(A0, A1,· · · , An)den+ 1points qui ne sont contenus dans aucun hyperplan ane et une famille (B0, B1,· · ·, Bn) den+ 1points quelconques. Montrer qu'il existe une unique application ane f de l'espace dans lui même telle quef(Ai) =Bipour tous lesientre 0et n.

3. ^(Ega03) Cet exercice propose deux parties indépendantes autour d'une même conguration.

Les points A₁, A₂, A₃ sont alignés sur une droite D dirigée par un vecteur u. Les points A⁰₁, A⁰₂, A⁰₃ sont alignés sur une droiteD⁰dirigée par un vecteuru⁰. Tous ces points sont distincts du point d'intersection notéO des deux droites.

a. Les points B₁, B₂, B₃ sont respectivement les in- tersections(A₂, A⁰₃)∩(A⁰₂, A₃),(A₃, A⁰₁)∩(A⁰₃, A₁), (A₁, A⁰₂)∩(A⁰₁, A₂)qui sont supposées non vides.

Par des calculs de coordonnées dans le repère (O,(u, v)), montrer que les points B₁,B₂,B₃ sont alignés.¹

1ce résultat est un cas particulier du théorème de l'hexagramme de Pascal. LesBsont alignés lorsque les6pointsA1, ...sont sur une même conique. En utilisant Maple, cela peut se démontrer par le calcul. Les deux droitesDetD⁰forment une conique dégénérée. (voir le problème hexaP)

D

D⁰

A3

A1

A2

O A⁰₁

A⁰₂

A⁰₃

Fig. 1 Exercice 3

On utilisera le résultat de l'exercice dt15 de la feuille sur les déterminants. À savoir :

α⁰₂−α⁰₃ α₂−α₃ α₂α⁰₂−α₃α⁰₃ α⁰₃−α⁰₁ α₃−α₁ α₃α⁰₃−α₁α⁰₁ α⁰₁−α⁰₂ α1−α2 α1α⁰₁−α2α⁰₂

= 0

pour des réels non nulsα1,α2,α3,α⁰₁,α⁰₂,α⁰₃. b. On dénit trois applications anesf1,f2,f3par :







f₁(O) =O f1(A2) =A3

f₁(A⁰₃) =A⁰₂







f₂(O) =O f2(A3) =A1

f₂(A⁰₁) =A⁰₃







f₃(O) =O f3(A1) =A2

f₃(A⁰₂) =A⁰₁

Que peut-on dire de la matrice dans la base(u, v) de la partie linéaire d'une de ces fonctions ? Mon- trer que ces fonctions commutent entre elles. Que vaut la composée des trois ?

On suppose maintenant que

(A1, A⁰₂)k(A⁰₁, A2)et (A2, A⁰₃)k(A⁰₂, A3) Que peut-on en déduire pourf₃etf₁? Montrer que

(A1, A⁰₃)k(A⁰₁, A3) (théorème de Pappus)

4. (Ega04)Les points A,B, C d'un plan ane sont non ali- gnés, les réelsα,β,γsont diérents de1. Les pointsL, M,N (voir gure2) sont dénis comme des barycentres deA,B,C avec les coecients suivants.

L: (0,1,−α) M : (−β,0,1) M : (1,−γ,0) a. Former une relation entreα,β,γcaractérisant l'ali-

gnement de L, M, N. Montrer que cette relation s'écrit

LB LC

M C M A

N A N B = 1 (théorème de Ménélaüs)²

2voir la feuilleGéométrie plane élémentaire(exercices gp11.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai _fex_gapdf du 28 février 2020

(2)

A

B

C

L

M N

Fig. 2 Exercice 4

b. Montrer que les droites(A, L),(B, M),(C, N)sont concourantes ou alignées si et seulement si

LB LC

M C M A

N A N B =−1 (théorème de Céva)

c. Montrer que si L, M, N sont alignés, les milieux des segmentsAL, BM,CN sont alignés.

On dénit les pointsL⁰, M⁰, N⁰ comme des barycentres deA,B,C avec les coecients suivants.

L⁰: (0,−α,1) M⁰ : (0,−β,1) N⁰ : (−γ,1,0) Montrer queL, M,N sont alignés si et seulement si L⁰, M⁰, N⁰ sont alignés. (les deux droites sont dites isotomiques)

5. ^(Ega05)Cet exercice généralise ga04 en dimensionn. Dans un espace ane de dimensionn, on se donnen+1points A1, A2,· · ·, An+1 qui ne sont pas dans un même hyperplan. On dénit les pointsB1,· · ·, Bn+1 par :

∀i∈ {1,· · ·, n}:−−−→

BiAi=λi

−−−−→

BiAi+1

−−−−−−−→

Bn+1An+1=λn+1

−−−→BnA1

Lesλi sont des réels diérents de0et de 1.

a. Exprimer les points B_i comme des barycentres de A₁,· · · , A_n. En admettant que les points B_i sont dans un même hyperplan si et seulement si le dé- terminant ((n+ 1)×(n+ 1)) constitué par les co- ordonnées barycentriques est nul, montrer que les Bisont dans un même hyperplan si et seulement si

λ₁λ₂· · ·λ_n+1= 1

b. On va retrouver le résultat précédent par une voie très diérente.

Montrer que le centre de la composée de plusieurs homothéties (lorsqu'il existe) est un barycentre des centres des homothéties qui interviennent dans la composition.

Pouri entre1 et n+ 1, on désigne parhi l'homo- thétie de centreBi et de rapportλi.

Préciserh1◦h2◦· · ·◦hn+1(A1). Considérer de même hn+1◦h1◦· · ·◦hnet ainsi de suite ... En déduire que si lesBi sont dans un même hyperplan, le produit desλi doit obligatoirement valoir1.

6. ^(Ega06)Dans un plan, on se donne deux droitesD1etD2. Soit a un réel strictement positif xé. Pour tout point M, on noteM₁le symétrique deM par rapport àD1 et M₂ le symétrique par rapport àD2.

Déterminer l'ensemble des pointsM tels que M1M2=a

7. ^(Ega07)Soituet vdes complexes xés avec|v|= 1. Mon- trer que la transformation du plan complexe

z→u+vz

est un antidéplacement. Montrer que c'est une réexion si et seulement siv=−^u_u.

8. ^(Ega08)Dans unR-espace vectorielE de dimension3, on se donne un repère ane(A,(i, j, k)). Les fonctions co- ordonnées dans ce repère sont notéesx, y, z.

SoitB le point de coordonnées(1,1,1) dans ce repère.

Soitu, v, wtrois vecteurs dont les coordonnées dans la base(i, j, k)sont

u: (1,1,1), v: (0,1,1), w: (1,0,1)

Vérier que (B,(u, v, w))est un repère ane. On note X, Y, Z les fonctions coordonnées dans ce repère. Ex- primerx,y,z en fonction deX,Y,Z puisX,Y, Z en fonction dex,y,z.

9. ^(Ega09)Dans unR-espace vectorielE de dimension3, on se donne un repère ane(A,(i, j, k)). Les fonctions co- ordonnées dans ce repère sont notéesx, y, z.

On considère trois fonctionsX,Y,Z







X =x+y+ 1 Y =y+z Z =x+z−1

Déterminer un repère ane (B,(u, v, w)) tel que les fonctions coordonnées dans ce repère soientX,Y,Z. 10. ^(Ega10)Soit E unR-espace vectoriel de dimension2. On

rappelle que l'ensemble des fonctions de E dans R est unR-espace vectoriel noté F(E,R). L'ensembleE^∗ des formes linéaires est un sous-espace vectoriel deF(E,R). Pour tout λ ∈ R, on note λ la fonction constante de valeur λ de E dans R. On note ici R l'ensemble des fonctions constantes de F(E,R). Il est évident que R est un sous-espace vectoriel deF(E,R). On note

F =E^∗+R

Un élément deF sera appelé fonction numérique ane.

a. Montrer queE^∗etRsont supplémentaires dansF. En déduire une base de F. Toute fonction numé- rique ane se décompose donc de manière unique comme la somme d'une partie linéaire et d'une partie constante.

(3)

b. Soitϕ∈F, discuter de la nature deDϕ=ϕ⁻¹({0}) (image réciproque du singleton).

c. Soit ϕ1, ϕ2, ϕ3 des fonctions numériques anes non constantes. Discuter suivantrg(ϕ1, ϕ2, ϕ3) de la conguration géométrique deDϕ₁,Dϕ₂,Dϕ₃.

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Espace ane : corrigés

1. pas de correction pour Ega01.tex 2. pas de correction pour Ega02.tex 3. pas de correction pour Ega03.tex 4. pas de correction pour Ega04.tex 5. pas de correction pour Ega05.tex 6. pas de correction pour Ega06.tex 7. pas de correction pour Ega07.tex 8. pas de correction pour Ega08.tex 9. pas de correction pour Ega09.tex 10. pas de correction pour Ega10.tex