1. On considère les points A(0, 1), B(1, 1), C(2, 0).

mathématiques - S2

TD 3 : Intégrales curvilignes - corrigé

exercices théoriques

1. On considère les points A(0, 1), B(1, 1), C(2, 0).

On note C

le demi-cercle de diamètre [AC] contenant O, C

le quart de cercle de centre (1, 0) contenant B et C.

Calculer les intégrales curvilignes : (a) R

[BC]

y

dx − x

dy (b) R

C2

y

dx − x

dy (c) R

[AC]

(x + y)dx + (x − y)dy (d) R

C1

(x + y)dx + (x − y)dy

corrigé succint : (a) On peut paramétrer[BC]parx= 1 +t,y= 1−tavect∈[0,1], donc dx=dt, dy=

−dtet l’intégrale devientR1

0((1−t)²+ (1 +t)²)dt=R1

0 2 + 2t²dt= 2 + 2/3 = 8/3.

(b) Le rayon deC2est 1, on peut paramétrerC1en coordonnées cartésiennesx= 1 + cost, y= sintpourtentre0etπ/2.

Alors dx = −sintdt et dy = costdt, et l’intégrale vaut Rπ/2

0 (−sin³t−(1 + cost)²cost)dt=Rπ/2

0 (−sin³t−cos³t−2 cos²t−cost)dt On linéarise : −sin³t = sin(3t)−3 sin(t)

4 , −cos³t = −cos(3t)−3 cos(t)

4 ,

−2 cos²(t) = −1 − cos(2t), donc finalement l’intégrale vaut [−cos(3t)/12 + 3 cos(t)/4−sin(3t)/12−3 sin(t)/4−t−sin(2t)/2−sin(t)]^π/2₀ =−π/2−7/3.

(c) On peut paramétrer [AC]parx = 2t,y = 1−tavec t ∈ [0,1], donc dx = 2dt, dy = −dtet l’intégrale devientR1

0(2(2t+ 1−t)−3t+ 1)dt = R1

0(−t+ 3)dt =

−1/2 + 3 = 5/2.

(d) méthode affreuse :Le centreΩdeC1a pour coordonnées(1,1/2), et le rayon deC1

est√ 5/2.

L’angle entre~ıetΩAvaut doncarctan(−1/2) +π.

On peut donc paramétrerC1 en coordonnées cartésiennesx = 1 +√

5/2 cost,y = 1/2 +√

5/2 sintpourtentrearctan(−1/2) +πetarctan(−1/2) + 2π.

De plus, dx=−√

5/2 sint, dy=√

5/2 cost, L’intégrale vaut doncRarctan(−1/2)+2π

arctan(−1/2)+π (3/2+√

5/2 cos(t)+√

5/2 sin(t))(−√

5/2 sin(t))+

(1/2+√

5/2 cos(t)−√

5/2 sin(t))(√

5/2 cos(t))dtsoitRarctan(−1/2)+2π arctan(−1/2)+π −3√

5/4 sin(t)+

√5 cos(t)/4−5/4×2 cos(t) sin(t) + 5/4(cos²t−sin²t)dt.

Mais l’intervalle d’intégration est de largeurπ, etcos(t) sin(t) = sin(2t)/2,cos²t− sin²t= cos(2t)/2qui sont des fonctionsπ-périodiques de valeur moyenne nulle.

Ainsi, l’intégrale vaut Rarctan(−1/2)+2π arctan(−1/2)+π −3√

5/4 sin(t) + √

5 cos(t)/4dt =

−3√

5/4[−cos(t)]arctan(−1/2)+2π arctan(−1/2)+π +√

5/4[sin(t)]arctan(−1/2)+2π arctan(−1/2)+π ,

= −3√

5/4(cos(arctan(−1/2) + π) − cos(arctan(−1/2) + 2π)) +

√5/4(sin(arctan(−1/2)+2π)−sin(arctan(−1/2)+π)),= 3√

5/2 cos(arctan(−1/2))+

√5 sin(arctan(−1/2))/2.

Mais cos(arctan(−1/2)) = 1/p

1 + tan²(arctan(−1/2)) = 2/√

5 et de même sin(arctan(−1/2)) =−1/√

5 Au final l’intégrale vaut5/2.

méthode efficace :la forme est exacte, de primitivef(x, y) =x²/2 +xy−y²/2donc l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi et fautf(C)−f(A) =f(2,0)−f(0,1) = 2−(−1/2) = 5/2. Autrement dit le même résultat que la question précédente !

2. Calculer les intégrales des formes différentielle xdx + x

dy et xdx + y

dy sur le bord du carré [0, 1] × [0, 1].

corrigé succint : Il est intéressant ici, plutôt que d’additionner les valeurs des 4 intégrales sur les 4 côtés du carré, d’utiliser la formule de Green-Riemann pour avoir une seule intégrale double à calculer.

Ainsi la première intégrale vautR1 0

R1

0(2x−0)dxdy= 2R1

0 xdx= 1, et la deuxième intégrale vaut 0 (on pouvait le prévoir car la forme est fermée définie sur un ensemble sans trou : elle est exacte !).

3. Calculer l’intégrale de la forme différentielle ydx+zdy+xdz sur l’arc d’hélice d’équations x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = t, entre les points (1, 0, 0) et (1, 0, 2π).

corrigé succint : On calculeR2π

t=0(−sin²(t) +tcos(t) + sin(t))dt.

−sin²(t) = (cos(2t)−1)/2a pour intégrale−π(lecos(2t)est d’intégrale nulle),sin(t) est d’intégrale nulle, etR2π

0 tcos(t)dt= [tsin(t)]^2π₀ −R2π

0 sin(t)dt= 0.

Finalement l’intégrale vaut−π.

4. Calculer la circulation des champs de vecteurs U ~ = − y~ı + x~ et

V ~ = y~ı + x~ sur l’ellipse définie par x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t).

corrigé succint : On calculeR

ellipse−ydx+xdy=R2π

0 ab(cos²(t) + sin²(t))dt= 2πabpour la première.

Pour la secondeR

ellipseydx+xdyest l’intégrale sur un chemin fermé d’une forme exacte,

elle vaut 0.

exercices pratiques

1. Le poids d’un point de masse m et d’altitude z est donné par l’ex- pression P ~ = − mg(z)~k avec g(z) = g

R R + z

(R = 6348km, g

= 9, 81m.s

).

Cette force est-elle conservative ?

Déterminer l’expression d’une fonction E

telle que P .d~l ~ = − dE

. Si A et B sont deux points, calculer en fonction de leurs coordonnées l’intégrale R

A

P .d~l ~ .

corrigé succint : Oui car la formeP .d~l~ est fermée (une seule variable !) et définie sur le demi-espacez >−R

"sans trou".

On peut prendre la fonctionEp=−g0R²

R+z, et alors RB

A P .d~ ~l=Ep(A)−Ep(B) = g0R²

R+zB − g0R² R+zA

.

2. On considère un contour C qui enlace N conducteurs parcourus par des courants I

, . . . , I

.

Le théorème d’Ampère dans le vide relie la circulation du champ d’induction magnétique B ~ aux courants selon la formule R

C

B.~ ~ dl = µ

P

i=1

I

.

(a) On admet que l’induction magnétique B ~ à distance a d’un fil rec- tiligne infini parcouru par un courant I est tangente au cercle de rayon a situé dans un plan orthogonal au fil.

Calculer sa norme.

(b) On admet que l’induction B ~ créée sur l’âme d’une bobine torique de N spires parcourues par un courant I est dirigée selon l’âme du tore, et que sa norme est constante (on néglige les effets de bord).

Calculer cette norme.

corrigé succint : (a) On considère un cercleCde rayonasitué dans un plan perpendiculaire au fil, dont le

centre est le point du fil appartenant à ce plan.

On admet dans l’énoncé que le champB~ est de la formeB ~uθ. Alors la circulation du champ le long deCvautµ0fois la somme algébrique des courants traversant le disque.

DoncR

CB.~~dl = µ0I. Mais sur le fil, dl = a ~uθdθ doncB.~~ dl = Bdθ et finalement R

CB.~~ dl=R2π

0 aBdθ=µ0Idonc2πB=µ0I,B= µ0I

2πa, etB~= µ0I 2πau~θ

(b) SoitRle rayon de l’âme du tore.

On choisit pour contour l’âme du tore. Alors le champ est colinéaire à ce contour,B ~uθ, et le disque à l’intérieur de ce contour est traversé parNcourant de même sens et d’in- tensitéI(les fils ressortent, avec courant dans l’autre sens, à l’extérieur du disque).

Si on applique le théorème d’Ampère on trouve doncR

CB.~~ dl=N µ0Isoit2πRB = N µ0IdoncB=N µ0I

2πR .

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