1S:ds 4
Devoir surveillé 4
2015-2016Total des points sur 24.
EXERCICE 1 : (sur 4 points)
On se place dans un repère (O; − → i ; − →
j ) du plan et on considère les points A(2; − 3), B( − 1; 5) et C(3; 0).
Les questions 1 et 2 sont indépendantes. On ne demande pas de figure.
1. Déterminer les coordonnées du point M défini par −−→
AM = 2 −−→
AB − 3 −→ AC.
2. (a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (d), parallèle à (AB) passant par C.
(b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection entre la droite (d) et la droite (d
′) d’équation x + y = 2.
• • •
EXERCICE 2 : (sur 4 points)
Dans un carré ABCD de centre O, on considère les points E et F tels que
−−→ DE = 1 4
−−→ DC et −−→
DF = − 1 2
−−→ DA.
Construire les points E et F.
En vous plaçant dans le repère (A; −−→ AB; −−→ AD), démontrer que les points O, E et F
sont alignés.
bA bB
bC
bD
b
O
• • •
EXERCICE 3 : (sur 4 points)
1. Questions de cours : Soit a un réel positif, compléter les équivalences suivantes :
• | x | = a ⇔ . . . .
• | x | 6 a ⇔ . . . .
• | x | > a ⇔ . . . .
2. Résoudre l’équation et l’inéquation suivantes :
| 3x − 4 | = 2 et | x − 3 | > 2 3
• • •
EXERCICE 4 : (sur 3 points)
On considère la fonction f définie par
f : D
f−→ R x 7−→ √
x + 1 1. D
fest un intervalle. Le déterminer.
2. Compléter la définition d’une fonction f strictement croissante sur un intervalle I :
f est strictement croissante sur I si, pour tous réels a et b de I, a < b implique . . . ..
3. Étudier les variations de f sur D
f.
• • •
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2015-2016EXERCICE 5 : (sur 9 points)
PARTIE A : Etude de la fonction u, définie sur R par u(x) = 2x
2− 6x + 9.
1. Montrer que la forme canonique de u(x) est 2
x − 3 2
2+ 9 2 .
2. Donner le tableau de variations de u sur R (
sans justification, à partir de la forme canonique précédente).
3. (a) Préciser l’extremum de u sur R.
(b) En déduire le signe de u(x) sur R.
PARTIE B : Etude de la fonction g, définie par g(x) = 1 u(x) 1. Vérifier que la fonction g est définie sur R.
2. Donner le tableau de variations de g sur R en justifiant votre réponse.
3. En déduire un encadrement de g(x) lorsque x appartient à l’intervalle [2; 3].
PARTIE C : problème
On considère un rectangle ABCD tel que AB = 3 et AD = 2.
On place un point M sur le segment [AB] tel que AM = x et un point N sur le segment [BC] tel que BN = x
x
x
3 2
b
A
b
B
bC
bD
b
M
b
N
1. Justifier que le réel x appartient à l’intervalle [0; 2] ?
2. Montrer que la longueur M N s’écrit sous la forme : M N = p u(x).
3. On désigne par f , la fonction qui à un réel x appartenant à l’intervalle [0; 2] associe la longueur M N A l’aide de la partie A, étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0; 2].
4. Pour quelle valeur de x, la longueur M N est-elle minimale ? Que vaut ce minimum ?
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