ECE2 Khôlle 2 Septembre 2021
- EXERCICE1 -
Soitpun entier naturel non nul. On noteMp(R) désignant l’ensemble des matrices carrées d’ordrep.
SiKest une matrice fixée deMp(R), on appelle commutant deK, le sous-ensemble suivant, notéC(K) : C(K)=©
M∈Mp(R),K M=M Kª 1. Montrer queC(K) est un espace vectoriel.
2. Montrer que pour toutn∈N,Kn∈C(K).
3. Montrer que si les matricesMetNappartiennent àC(K), alors le produitM Nappartient aussi àC(K).
4. SoitA,BetPtrois matrices vérifiant la relation : A=P T P−1. Pour toute matriceMdeMp(R), on poseM0=P−1M P. Montrer que : M∈C(A)⇐⇒M0∈C(B).
5. Dans cette question, on choisitp=3 et on considère la matrice : T=
1 0 0 0 2 1 0 0 2
.
(a) SoitN∈M3(R). Montrer queN∈C(T) si et seulement siNest de la forme
a 0 0 0 b c
0 0 b
avec (a,b,c)∈R3. (b) En déduire une famille génératrice deC(T).
- EXERCICE2 -
Soitfla fonction définie surRpar : f(x)=
xe−x
1−e−x six6=0
1 six=0
1. Montrer que la fonctionfest continue surR.
2. Montrer que la fonctionfest dérivable en 0 et préciserf0(0).
- EXERCICE3 -
Soitn∈N∗. On se propose d’étudier les racines de l’équation (En) suivante pourx>0.
(En) : lnx+x=n
1. Dresser le tableau de variations de la fonctionfdéfinie surR∗+par :f:x7→lnx+x. 2. En déduire que, pour toutn∈N∗, (En) admet une unique racinexn. Donner la valeur dex1. 3. Montrer que la suite (xn)n∈Nest strictement croissante puis quexn>1 pour toutn∈N∗. 4. (a) Justifier quefest bijective et donner le tableau de variation def−1.
(b) En déduire la limite de la suite (xn)n∈N∗.
5. (a) En utilisant (sans le redémontrer) que : ∀x∈R∗+, lnx<x, prouver que :∀n∈N∗,n
26xn6n.
(b) En déduire que ln(xn)
n tend vers 0 quandntend vers+∞.
(c) En déduire que : xn ∼
+∞n.
(d) Montrer que :∀n∈N∗,xn+1−xn=1−ln µxn+1
xn
¶ . (e) En déduire la limite dexn+1−xn.
ECE2 Khôlle 2 Septembre 2021
- EXERCICE1 -
Soitpun entier naturel non nul. On noteMp(R) désignant l’ensemble des matrices carrées d’ordrep.
SiKest une matrice fixée deMp(R), on appelle commutant deK, le sous-ensemble suivant, notéC(K) : C(K)=©
M∈Mp(R),K M=M Kª 1. Montrer queC(K) est un espace vectoriel.
2. Montrer que pour toutn∈N,Kn∈C(K).
3. Montrer que si les matricesMetNappartiennent àC(K), alors le produitM Nappartient aussi àC(K).
4. SoitA,BetPtrois matrices vérifiant la relation : A=P T P−1. Pour toute matriceMdeMp(R), on poseM0=P−1M P.
Montrer que :M∈C(A)⇐⇒M0∈C(B).
5. Dans cette question, on choisitp=3 et on considère la matrice : T=
1 0 0 0 2 1 0 0 2
.
(a) SoitN∈M3(R). Montrer queN∈C(T) si et seulement siNest de la forme
a 0 0 0 b c
0 0 b
avec (a,b,c)∈R3. (b) En déduire une famille génératrice deC(T).
- EXERCICE2 -
Soitfla fonction définie surRpar : f(x)=
xe−x
1−e−x six6=0
1 six=0
1. Montrer que la fonctionfest continue surR.
2. Montrer que la fonctionfest dérivable en 0 et préciserf0(0).
- EXERCICE3 -
Soitn∈N∗. On se propose d’étudier les racines de l’équation (En) suivante pourx>0.
(En) : lnx+x=n
1. Dresser le tableau de variations de la fonctionfdéfinie surR∗+par :f:x7→lnx+x. 2. En déduire que, pour toutn∈N∗, (En) admet une unique racinexn. Donner la valeur dex1. 3. Montrer que la suite (xn)n∈Nest strictement croissante puis quexn>1 pour toutn∈N∗. 4. (a) Justifier quefest bijective et donner le tableau de variation def−1.
(b) En déduire la limite de la suite (xn)n∈N∗.
5. (a) En utilisant (sans le redémontrer) que : ∀x∈R∗+, lnx<x, prouver que : ∀n∈N∗,n
26xn6n.
(b) En déduire que ln(xn)
n tend vers 0 quandntend vers+∞.
(c) En déduire que : xn ∼
+∞n.
(d) Montrer que : ∀n∈N∗,xn+1−xn=1−ln µxn+1
xn
¶ . (e) En déduire la limite de xn+1−xn.
