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Analyse Complexe 2007
Fonctions holomorphes.
Exercice 1.
(1) Soit α:C→Cune applicationRlin´eaire de matrice dans la base canonique
a c
b d
. Montrer queαestClin´eaire ssiαest la multiplication parα(1) ssic=−b,d=a.
(2) En d´eduire qu’une application C d´erivable en un point v´erifie les ´equations de Cauchy Riemann.
(3) Montrer que la fonction f(x, y) = 1 si x.y = 0 et nulle ailleurs v´erifie les ´equations de Cauchy Riemann en 0, mais n’est pas continue en 0.
Exercice 2.
(1) Soit f une fonction diff´erentiable enz0∈C. Calculer ∂
∂zf(z0) et ∂
∂z¯f(z0).
(2) Montrer que les op´erateurs ∂
∂z et ∂
∂z¯ sont des d´erivations sur l’espace des fonctions com- plexes diff´erentiables enz0. Calculer ∂
∂zzk,...
(3) Montrer l’identit´e ∂
∂zf ◦g= ( ∂
∂wf)◦g ∂
∂zg+ ( ∂
∂w¯f)◦g ∂
∂zg¯lorsque les termes sont bien d´efinies. Montrer l’identit´e analogue pour ∂
∂z¯.
(4) En d´eduire que si f :D(0,1)→Cest holomorphe alors z→f(¯z) est holomorphe sur ce disque.
(5) Montrer que la compos´ee de deux applications holomorphes est holomorphe.
Exercice 3. Montrer qu ’un polynˆome P(z,¯z) =
1≤i,j≤n
pi,jziz¯j est holomorphe ssi pi,j= 0 pourj >0.
Exercice 4. Discuter les points deC−diff`erentiabilit´e des fonctions suivantes.
z→ |z|2; z→ z+i
z−i,z=i; z→ |z| −z; z=x+iy→x+iy2
Exercice 5. Ecrire l’in´egalit´e des accroissements finis pour une fonction holomorphe sur un ouvertU en terme de sa Cd´eriv´ee. En d´eduire que siU est connexe et ∂
∂xf est nulle alorsf est constante.
Exercice 6. SoientU un ouvert connexe deCetf ∈ O(U). Mq chacune des propri´et´es suivantes entraine quef est constante:
a) f est constante b) Re(f) est constante c) Im(f) est constante c) f ∈ O(U) d) L’image def est contenue dans une droite affine deR2.
Exercice 7. On note H = {z ∈ C,Imz > 0}. Montrer que T : z → z−i z+i est un biholomorphisme deH surD le disque unit´e de C. Calculer son inverse.
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